diagonalizzabile

Definizione

Sia $f:V\to V$ applicazione lineare, $dimV$ finita; $f$ si dice diagonalizzabile se esiste una base $B$ di $V$ tale che $M_B^B(f)$ sia diagonale.

matrice diagonale

Proposizione
Sia $f:V\to V$ applicazione lineare, $dimV$ finita, allora è diagonalizzabile se e solo se esiste una base $B$ di $V$ costituita tutta da autovettori.

Dimostrazione
Se $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ è una base costituita da autovettori; e per ogni $i\in \{1,\dots ,n\}$, $v_i$ è un autovettore associato all’autovalore ${\lambda }_i$ (ovvero vale che $f(v_i)=\lambda \cdot v_i$), allora

$M_B^B(f)=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)$

ovvero tale matrice è diagonale (notiamo che non abbiamo supposto che i $\{{\lambda }_i\}$ siano tutti distinti).

Per comprendere se una tale base può esistere, andiamo a ripensare agli autospazi in maniera differente. In particolare, andiamo a dimostrare che gli autospazi sono sottospazi vettoriali in una maniera alternativa.

Sia $f:V\to V$ applicazione lineare, $dimV$ finita e sia $\lambda \in K$ un autovalore di $f$. Allora per definizione esiste $v\in V$ con $v\ne 0$ tale che $f(v)=\lambda \cdot v$. Ora
$f(v)=\lambda \cdot v⟺f(v)-\lambda v=0\iff f(v)-\lambda \cdot i{d}_v(v)=0\iff (f-\lambda \cdot id)(v)=0$.

Per definizione $(f-\lambda \cdot id):=f_{\lambda }$

Allora $f_{\lambda }:V\to V$ e $v\in ker{f}_{\lambda }$. Pertanto $ker{f}_{\lambda }\ne (0)$, perché $v\ne 0$. Ciò significa che $f_{\lambda }$ non è iniettiva. Pertanto $f_{\lambda }$ non è invertibile e dunque per qualsiasi base $B$ di $V$ vale che

$M_B^B(f_{\lambda })$ non è invertibile
$\iff$ $det{M}_B^B(f_{\lambda })=0$
$\iff det{M}_B^B(f-\lambda \cdot id)=0$
$\iff det(M_B^B(f)-\lambda \cdot M_B^B(id))=0$
$\iff det(M_B^B(f)-\lambda \cdot 1_n)=0$

Pertanto gli autovalori di $f$ sono tutti e soli i valori $\lambda \in K$ tali che $det(M_B^B(f)-\lambda \cdot 1_n)=0$ per qualsiasi base $B$ di $V$.
Inoltre $Aut(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda \cdot v\}=\{v\in V:(f-\lambda \cdot id)(v)=0\}=\{v\in V:f_{\lambda }(v)=0\}=ker{f}_{\lambda }$

Pertanto, essendo $Aut(\lambda )$ il nucleo di una applicazione lineare, riotteniamo il risultato tale che $Aut(\lambda )$ è un sottospazio vettoriale di $V$.

molteplicità geometrica
molteplicità algebrica
polinomio caratteristico
spettro

Risorse