caratterizzazione della convergenza uniforme di successioni di funzioni

Teorema

$(f_n{)}_n$ converge uniformemente ad $f$ su $E$ $\iff$ $\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{x\in E}{\sup }\left|f_n(x)-f(x)\right|=0$

Dimostrazione

$\left|f_n(x)-f(x)\right|\le \epsilon \forall x\in E\iff {\sup }_{x\in E}\left|f_n(x)-f(x)\right|\le \epsilon$

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Esempio: $f_n(x)=x^{n}E=]0,1[$

Convergenza puntuale delle $f_n$
$f_n(x)\stackrel{n\to +\infty }{⟶}0$
quindi c’è convergenza puntuale a $f(x)\equiv 0$

Convergenza uniforme delle $f_n$:
Valuto $\underset{x\in ]0,1[}{\sup }\left|f_n(x)-f(x)\right|=\underset{x\in ]0,1[}{\sup }\left|x^n-0\right|=\underset{x\in ]0,1[}{\sup }{x}^n=1$
non c’è convergenza uniforme.

Esempio: $f_n(x)=\frac{1}{n}\cdot x^{n}E=[0,1]$

Convergenza puntuale a $f(x)\equiv 0$:

$\underset{x\in [0,1]}{\sup }\left|f_n(x)-f(x)\right|=\underset{x\in [0,1]}{\sup }\frac{1}{n}\cdot x^n=\frac{1}{n}\stackrel{n\to +\infty }{⟶}0$

c’è anche convergenza uniforme a $f(x)\equiv 0$

Risorse