caratterizzazione locale della continuità

Proposizione

$f:X\to Y$ è continua $\iff \forall x\in X,\forall V\subset Y$ intorno di $f(x)\in Y$, $\exists U\subset X$ intorno di $x$ in $X$ t.c. $f(U)\subset V$.

Dimostrazione

Non è restrittivo limitarci a considerare solo intorni aperti.

$(\Rightarrow )$
$\forall V\subset Y$ intorno aperto di $f(x)\Rightarrow x\in U:=f^{-1}(V)\subset X$ aperto.

$(\Leftarrow )$
$\forall V\subset Y$ aperto, se $f^{-1}(V)=\varnothing$ allora è aperto.

Se $f^{-1}(V)\ne \varnothing$, $\forall x\in f^{-1}(V)\Rightarrow V$ intorno di $f(x)$ in $Y\Rightarrow \exists U\subset X$ intorno di $x$ t.c. $f(U)\subset V\Rightarrow x\in U\subset f^{-1}(V)\Rightarrow f^{-1}(V)$ aperto in $X\Rightarrow f$ continua.

Osservazione

Nella proposizione possiamo limitarci a considerare intorni $U$ e $V$ aperti e/o basici (se abbiamo preventivamente fissato basi di intorni in $X$ e $Y$). La dimostrazione richiede solo piccole modifiche.

Risorse