continuità negli spazi metrici

Corollario

Siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi metrici. Allora $f:X\to Y$ è continua
$\iff \forall x_0\in X,\forall \epsilon >0,\exists \delta >0\text{ t.c. }\forall x\in X\text{ si ha che}$
$d_X(x,x_0)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$

Dimostrazione

Segue subito dalla proposizione precedente e dall’osservazione usando come intorni basici le bocce aperte $V=B_{d_Y}(y,\epsilon )$ e $U=B_{d_X}(x,\delta )$.

… xes

caratterizzazione locale della continuità

Osservazioni

• In generale $\delta$ dipende da $x_0$ e da $\epsilon$, quindi $\delta =\delta (x_0,\epsilon )$
• La definizione di funzione continua generalizza quella studiata in Analisi
• Le funzioni reali di variabili reali la cui continuità è nota dall’Analisi saranno considerate continue senza bisogno di dimostrazione, come polinomi, funzioni trigonometriche, et cetera.
• La continuità dipende dalla topologia.

Risorse