determinante di una matrice

Definizioni

Per matrici 2x2:
Sia $A\in M_2(K)$, $A=(a_{ij})$, definiamo il determinante di $A$ come lo scalare

$det(A)=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21},det(A)\in K$

Proposizione
Sia $A\in M_2(K)$, allora

$A$ è invertibile $⟺$ $rg(A)=2$ $⟺$ $det(A)\ne 0$

in tal caso, se $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$, vale che $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot \left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right)$.

minore ij-esimo di una matrice

Definizione generale
Sia $A\in M_n(K)$; definiamo il determinante di $A$ in maniera ricorsiva nel modo seguente:

• se $n=1$, allora $A=(a_{11})$ e definiamo $det(A)=a_{11}$
• se $n>1$, allora definiamo

$det(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}\cdot a_{i1}\cdot det(A_{i1})$

teorema dell’invertibilità tramite determinante
formula di Sarrus
approfondimento sul determinante

Risorse

… 3b1b