equazioni parametriche

Definizione in geometria affine

Sia $P=(x_1,\dots ,x_n)$ un generico punto di ${\mathbb{A}}^n$. Sia $S$ un sottospazio affine passante per $Q=(q_1,\dots ,q_n)$ e di giacitura $W\subseteq K^n$. Sia $W=\text{Span}(w_1,\dots ,w_k)$, dove $w_i=(w_{i1},\dots ,w_{in})$. L’espressione:

$x_j=q_j+t_1{w}_{1j}+\cdots +t_k{w}_{kj},j=1,\dots ,n$

si dice equazione parametrica di $S$, dove $t_1,\dots ,t_k$ sono i parametri.

In generale

Le equazioni parametriche rappresentano un insieme geometrico (curva, superficie, ecc.) esprimendo le coordinate dei suoi punti in funzione di uno o più parametri indipendenti. Invece di definire l’insieme attraverso una relazione implicita tra le coordinate (come fanno le equazioni cartesiane), le equazioni parametriche forniscono una rappresentazione esplicita dei punti dell’insieme.

Ecco alcuni esempi:

• Retta nel piano (${\mathbb{R}}^2$): $x=x_0+at$ e $y=y_0+bt$, dove $(x_0,y_0)$ è un punto sulla retta, $(a,b)$ è un vettore direttore della retta e t è il parametro (un numero reale). Al variare di t, si ottengono tutti i punti della retta.

• Retta nello spazio (${\mathbb{R}}^3$): $x=x_0+at$, $y=y_0+bt$ e $z=z_0+ct$, con interpretazioni simili a quelle del caso bidimensionale.

• Circonferenza nel piano (${\mathbb{R}}^2$): $x=r\cos (t)$ e $y=r\sin (t)$, dove r è il raggio e t è l’angolo (in radianti) formato dal raggio con l’asse x. Al variare di t da 0 a $2\pi$, si ottiene l’intera circonferenza.

• Piano nello spazio (${\mathbb{R}}^3$): $x=x_0+as+bt$, $y=y_0+cs+dt$ e $z=z_0+es+ft$, dove $(x_0,y_0,z_0)$ è un punto sul piano, $(a,c,e)$ e $(b,d,f)$ sono due vettori non paralleli che giacciono sul piano, e s e t sono i parametri.

• In generale: Un insieme geometrico in ${\mathbb{R}}^n$ può essere rappresentato parametricamente da un insieme di equazioni $x_i=f_i(t_1,t_2,\dots ,t_k)$, dove le $x_i$ sono le coordinate, le $f_i$ sono funzioni e $t_1,t_2,\dots ,t_k$ sono i parametri.

Nel contesto dei sottospazi affini, come visto in precedenza, le equazioni parametriche permettono di generare tutti i punti del sottospazio a partire da un punto fisso e da una base della giacitura. Ad esempio, se $Q$ è un punto del sottospazio e $v_1,v_2,\dots ,vk$ è una base della giacitura, allora ogni punto $P$ del sottospazio può essere espresso come $P=Q+t_1{v}_1+t_2{v}_2+...+tkvk$, dove $t_1,t_2,\dots ,t_k$ sono i parametri.

Le equazioni parametriche sono particolarmente utili per generare punti di un insieme geometrico e per visualizzare la sua forma. Sono anche comode per descrivere il movimento di un punto lungo una curva o una superficie al variare del parametro (che può rappresentare, ad esempio, il tempo).

Risorse

In matematica l’equazione parametrica o letterale è un’equazione matematica in cui le variabili (indipendente e dipendente) sono espresse a loro volta in funzione di uno o più parametri. Un tipico parametro potrebbe essere il tempo: esso, in equazioni riguardanti la cinematica, è utilizzato per stabilire la velocità, l’accelerazione e altri aspetti del movimento. Il contrario di equazione parametrica è equazione numerica.

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