formula di Binet e determinante dell’inversa

Teorema

Siano $A,B\in M_n(K)$; allora
$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$
(teorema di Binet)

Corollario
Sia $A\in M_n(K)$ invertibile, allora
$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}=det(A{)}^{-1}$

Dimostrazione
Vale che $A\cdot A^{-1}=1_n$; allora per il teorema di Binet e per la proprietà $D3$ di normalizzazione vale che
$det(A\cdot A^{-1})=det(1_n)=1$
$det(A\cdot A^{-1})=det(A)\cdot det(A{)}^{-1}$
$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$

determinante di una matrice
approfondimento sul determinante
matrice invertibile

Dimostrazione

Risorse