funzione totiente di Eulero

Definizione

Se $|U_m|$ è la cardinalità del sottogruppo degli elementi invertibili di ${\mathbb{Z}}_m$ definiamo $\phi :\mathbb{N}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}\setminus \{0\}$ come la funzione data da

$$\phi (1)=1\text{e}\phi (m)=|U_m|.$$

Tale funzione si chiama funzione di Eulero.

Osservazione

i) Dall’Osservazione 60.i abbiamo $|U_m|=\#$ elementi coprimi con $m$.

ii) Se $p$ è un numero primo $\phi (p)=p-1$

iii) Dal punto precedente si ricava che se $p$ è primo allora ${\mathbb{Z}}_p$ è un campo, infatti ${\mathbb{Z}}_p$ non ha divisori dello zero e ammette inverso per il prodotto per ogni elemento diverso da $0$.

iv) $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$ se $p$ pari

v) $\phi (pq)=\phi (p)\phi (q)$ per $p,q$ primi

Ricordiamo che se $G$ è un gruppo finito di ordine $n$ allora $g^n=1$; $\forall g\in G$. Utilizzando questo risultato sui gruppi finiti $U_m$, il cui ordine è $\phi (m)$, otteniamo il seguente: teorema di Eulero.

Risorse