insieme dei numeri naturali

Definizione

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots \}$

Sono quelli che servono per contare (con lo zero).

Su $\mathbb{N}$ è definita un’operazione di somma o addizione,
è una funzione

$+:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$
$(n,m)\mapsto k=n+m$

Questa è un’operazione:

• associativa
  • $\forall n,m,k$ vale che $n+(m+k)=(n+m)+k$
• $\exists$ neutro
  • $\exists 0\in \mathbb{N}:\forall m,0+m=m+0=m$
• commutativa
  • $\forall n,m$ vale che $n+m=m+n$

Su $\mathbb{N}$ è definita anche un’operazione di prodotto o moltiplicazione,
è una funzione

$\cdot :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$
$(n,m)\mapsto k=n\cdot m$

Questa è un’operazione:

• associativa
  • $\forall n,m,k$ vale che $n\cdot (m\cdot k)=(n\cdot m)\cdot k$
• $\exists$ neutro
  • $\exists 1\in \mathbb{N}:\forall n,1\cdot n=n\cdot 1=n$
• commutativa
  • $\forall n,m$ vale che $n\cdot m=m\cdot n$

Vale una proprietà che lega la somma al prodotto, la distributiva,

$\forall m,n,k$ vale che $n\cdot (m+k)=(n\cdot m)+(n\cdot k)$

Su $\mathbb{N}$ è definita anche una relazione d’ordine totale,
cioè che $\forall x,y\in A,x\rho y\vee y\rho x$

$\ge$ “maggiore o uguale”

che è compatibile con le operazioni:

$\forall n,m,k\in \mathbb{N},$
$n\ge m\Rightarrow n+k\ge m+k$

$\forall n,m,k\in \mathbb{N},$
$n\ge m\Rightarrow n\cdot k\ge m\cdot k$

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Abbiamo un insieme con operazioni e relazioni

$(\mathbb{N},+,\cdot ,\ge )$

esso è un insieme con una struttura algebrica.

Osservazione
Possiamo determinare degli assiomi (“prime proprietà che non vengono dimostrate ma assunte a priori”) su $\mathbb{N}$,
in modo che tutte le altre proprietà siano deducibili da questi?

assiomi di Peano e principio di induzione

Risorse