assiomi di Peano e principio di induzione

Definizione

Esiste un insieme che chiamo $\mathbb{N}$

• Esiste un elemento di questo insieme che chiamo $0$ (zero), cioè $0\in \mathbb{N}$
• Esiste una funzione $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ che chiamo “successivo” che gode delle seguenti proprietà:
  • $\sigma$ è iniettiva
  • $\sigma (n)\ne 0$ (zero non è il successivo di nessun numero)
  • principio di induzione
    • sia $\mathcal{S}\subseteq \mathbb{N}$, supponiamo che
      • $0\in \mathbb{N}$
      • $\forall n,n\in \mathcal{S}\Rightarrow \sigma (n)\in \mathcal{S}$
    • Allora $\mathcal{S}=\mathbb{N}$

Idea fondamentale
$\sigma (0)=1$
$\sigma (n)=n+1$
se parto da $0$ e sommo $1$, trovo tutti i numeri.

Osservazione
Il principio di induzione posso verificarlo anche per i numeri $n>n_0,n_0\in \mathbb{N},n_0\ge 0$,
verificando $P(n_0)$ e poi $\forall n\ge n_0,P(n)\Rightarrow P(n+1)$.

Esempio $0+1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

Esempio $0+1+4+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Esempio $0+1+8+\cdots +n^3=(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}{)}^2$

disuguaglianza di Bernulli
insieme dei numeri naturali

Risorse