lemma di Steinitz

Teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ finitamente generato e sia $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ una base di $V$; allora per ogni $k>n$ e per ogni scelta di vettori $w_1,\dots ,w_k\in V$ vale che $w_1,\dots ,w_k$ sono linearmente dipendenti.

base di uno sottospazio vettoriale
vettori linearmente dipendenti

Dimostrazione

(idea) per ipotesi vale che

$w_1=c_{11}{v}_1+\cdots +c_{n1}{v}_n$
$w_2=c_{12}{v}_1+\cdots +c_{n2}{v}_n$
$⋮$
$w_k=c_{1k}{v}_1+\cdots +c_{nk}{v}_n$

si può dimostrare che, se definiamo

$$C=\left\{\left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& \dots & c_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n1}& \dots & c_{nk}\end{array}\right)\right\}$$

allora $w_1,\dots ,w_k$ sono linearmente dipendenti se e solo se il sistema lineare omogeneo $C\cdot X=0$ ammette una soluzione non tutta nulla; osserviamo la matrice $C$; essa ha $n$ righe e $k$ colonne; per ipotesi $k>n$, quindi ci sono più colonne che righe; se, tramite l’algoritmo di gradinizzazione di Gauss portiamo $C$ nella forma a scala, otterremo dunque una matrice del tipo:

$$\tilde{C}=\left(\begin{array}{ccccc}\ast & \ast & \ast & \dots & \ast \\ 0& \ast & \ast & \dots & \ast \\ 0& 0& \ast & \dots & \ast \\ 0& 0& 0& \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$$

dato che si sono più colonne che righe, almeno uno di questi scalini sarà lungo più di $1$, il che significa che almeno un’incognita nel sistema lineare può essere scelta liberamente e quindi in particolare può essere scelta non nulla, determinando dunque una soluzione non tutta nulla dell’equazione.

Risorse