teorema della dimensione dello spazio vettoriale

Teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ finitamente generato; siano $\{v_1,\dots ,v_n\}$ e $\{w_1,\dots ,w_m\}$ due basi di $V$; allora $n=m$.

(equivalentemente due basi di uno spazio vettoriale su $K$ finitamente generato, hanno lo stesso numero di elementi)

Dimostrazione

Dato che $\{v_1,\dots ,v_n\}$ è una base di $V$, allora deve essere $m\le n$ per il lemma di Steinitz (perché altrimenti $\{w_1,\dots ,w_m\}$ non sarebbero linearmente indipendenti); dal momento che $\{w_1,\dots ,w_m\}$ è una base di $V$, allora deve essere $n\le m$ per il lemma di Steinitz (perché altrimenti $\{v_1,\dots ,v_n\}$ non sarebbero linearmente indipendenti); quindi $n=m$.

spazio vettoriale
base di uno sottospazio vettoriale

Risorse