matrici associate ed isomorfismi

Definizione

Sia $f : V \to V^{'}$ applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita, sia $B$ una base di $V$ e sia $C$ una base di $V^{'}$ ; siano $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ , $C = {w_{1}, \dots, w_{m}}$ ,
definiamo la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi $B$ e $C$ come la matrice $M_{C}^{B} (f) \in M_{m, n} (K)$ ottenuta nella maniera seguente:
per ogni $v_{i} \in B$ , scriviamo $f (v_{i})$ come combinazione lineare di $w_{1}, \dots, w_{m}$ ; i coefficienti di tale matrice formano la colonna $i$ -esima di $M_{C}^{B} (f)$ ; in altre parole

M_{C}^{B} (f) = ⋮ ⋮ coordinate di f (v_{1}) rispetto a C ⋮ ⋮ \dots \dots \dots ⋮ ⋮ coordinate di f (v_{n}) rispetto a C ⋮ ⋮

Teorema
Sia $f : V \to V^{'}$ applicazione lineare tra spazi di dimensione finita; sia $B$ una base di $V$ e sia $C$ una base di $V^{'}$ ; sia $v \in V$ e supponiamo che $α_{1} ⋮ α_{n}$ siano le coordinate di $v$ rispetto a $B$ (ovvero $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ e $v = α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}$ ), quindi $α_{1} ⋮ α_{n} \in K^{n}$ ; allora le coordinate di $f (v)$ rispetto a $C$ sono date da $M_{C}^{B} (f) α_{1} ⋮ α_{n}$ .

Teorema
Siano $f : V \to V^{'}$ e $g : V^{'} \to V^{''}$ applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita e siano $B$ una base di $V$ , $C$ una base di $V^{'}$ , $D$ una base di $V^{''}$ , allora possiamo considerare $g \circ f : V \to V^{''}$ e abbiamo

$M_{D}^{B} (g \circ f) = M_{D}^{/ C} (g) \cdot M_{/ C}^{B} (f)$

Corollario
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita, siano $B$ e $C$ basi di $V$ , allora

$M_{B}^{C} (i d_{V}) \cdot M_{C}^{B} (i d_{V}) = M_{B}^{B} (i d_{V} \cdot i d_{V}) = M_{B}^{B} (i d_{V}) = 1_{n}$

quindi $M_{B}^{C} (i d_{V})$ è l’inversa di $M_{C}^{B} (i d_{V})$ .

Data $f : V \to V^{'}$ applicazione lineare tra spazi di dimensione finita.
Supponiamo $d imV = n$ , $d im V^{'} = m$ , fissiamo basi $B$ di $V$$ e$ C $d i$ V’ $, a ll or a \overset{e}{ˋ} d e t er mina t a$ M_C^B (f) $(l es u eco l o nn eso n o l ecoor d ina t e d e g l i e l e m e n t i d i$ B $a tt r a v erso$ f $r i s p e tt o a$ C $) . A bbiam o$ M_C^B (f) \in M_{m, n} (K)$

Proprietà
$i .$ $M_{B}^{B} (i d_{V}) = 1_{n}$ (attenzione $M_{C}^{B} (i d)$ non è necessariamente $1_{n}$ )

$ii .$ $M_{C}^{B} (applicazione nulla) = matrice nulla$

$iii .$ Se $f : V \to V^{'}$ e $g : V^{'} \to V^{''}$ sono lineari,
con $B$ base di $V$ , $C$ base di $V^{'}$ , $D$ base di $V^{''}$ , allora
$M_{D}^{B} (g \circ f) = M_{D}^{C} (g) \cdot M_{C}^{B} (f)$
(prodotto righe per colonne)

$i v .$ $M_{C}^{B} (i d)$ è l’inversa di $M_{B}^{C} (i d)$

$v .$ $M_{C}^{B} (f + g) = M_{C}^{B} (f) + M_{C}^{B} (g)$ per ogni $f, g : V \to V^{'}$

$v i .$ $M_{C}^{B} (λ \cdot f) = λ \cdot M_{C}^{B} (f)$

Osservazione
Se $f : V \to V$ ,con $d imV = n$ , è un isomorfismo (ovvero $f$ è un’applicazione lineare ed è biettiva, quindi invertibile), allora $f^{- 1} : V^{'} \to V$ è anch’essa lineare ed abbiamo che, se $B$ è base di $V$ , allora

$M_{B}^{B} (f) \cdot M_{B}^{B} (f^{- 1}) = M_{B}^{B} (f \cdot f^{- 1}) = M_{B}^{B} (i d) = 1_{n}$

quindi $M_{B}^{B} (f)$ è invertibile e la sua inversa è $M_{B}^{B} (f^{- 1})$ , ovvero

$(M_{B}^{B} (f))^{- 1} = M_{B}^{B} (f^{- 1})$

Ricordiamo inoltre che se $f : V \to V^{'}$ e $B$ è base di $V$ e $C$ è base di $V^{'}$ , se $v \in V$ e $α_{1} ⋮ α_{n}$ è un vettore $m \times 1$ ed è il vettore delle coordinate di $v$ rispetto a $B$ , abbiamo che $M_{C}^{B} (i d_{V}) \cdot α_{1} ⋮ α_{n}$ è il vettore delle coordinate di $i d_{V} (v) = v$ rispetto alla base $C$ . Pertanto, $M_{C}^{B} (i d_{V})$ è la matrice del cambio di base.

Da tutti questi risultati deriviamo che, se $f : V \to V^{'}$ è una applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita e
$B$ e $\tilde{B}$ sono basi di $V$
$C$ e $\tilde{C}$ sono basi di $V^{'}$
allora abbiamo che
$M_{\tilde{C}}^{\tilde{B}} (f) = M_{\tilde{C}}^{\tilde{B}} (i d_{V^{'}} \cdot f \cdot i d_{V}) = M_{\tilde{C}}^{C} (i d_{v^{'}}) \cdot M_{C}^{B} (f) \cdot M_{B}^{\tilde{B}} (i d_{V})$
Pertanto, se consideriamo $M_{C}^{B} (f)$ , possiamo ottenere $M_{\tilde{C}}^{\tilde{B}} (f)$ moltiplicando a destra e a sinistra $M_{C}^{B} (f)$ per die matrici di cambio di base.
In particolare, se $f : V \to V$ (attenzione, dominio e codominio qui coincidono) e se $B$ e $C$ sono due basi di $V$ , allora
$M_{C}^{C} (f) = M_{C}^{B} (i d_{V}) \cdot M_{B}^{B} (f) \cdot M_{B}^{C} (i d_{V})$
Notiamo che se $P = M_{B}^{C} (i d_{V})$ , allora $M_{C}^{B} (i d_{V}) = M_{B}^{C} (i d_{V})^{- 1} = P^{- 1}$
Quindi l’uguaglianza precedente si può scrivere come
$M_{C}^{C} (f) = P^{- 1} \cdot M_{B}^{B} (f) \cdot P$

matrici simili

Pertanto possiamo riassumere quanto ottenuto finora dicendo che se $f : V \to V$ è un’applicazione lineare con $d imV = n$ e $B$ e $C$ sono basi di $V$ , allora $M_{B}^{B} (f) = M_{C}^{C} (f)$ sono simili e vale
$M_{C}^{C} (f) = P^{- 1} \cdot M_{B}^{B} (f) \cdot P$
dove $P = M_{B}^{C} (i d_{V})$ .

Questo risultato ci consente quindi di determinare la matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a una base differente da quella che potremmo aver considerato in partenza. La speranza è di riuscire a trovare basi rispetto alle quali l’applicazione lineare abbia una forma abbastanza semplice.
Prima di passare a questo argomento, concludiamo con un risultato generale.

Definizione
Siano $V, V^{'}$ due spazi vettoriali su $K$ di dimensione, $d imV = n$ , $d im V^{'} = m$ , definiamo

$L (V, V^{'}) =$ {applicazioni lineari da $V$ in $V^{'}$ }

abbiamo che, definendo la somma tra applicazioni in maniera “puntuale” $[(f + g) (v) = f (v) + g (v)]$ e analogamente la moltiplicazione di una applicazione lineare per uno scalare $[(λ f) (v) = λ f (v)]$ , allora $L (V, V^{'})$ diventa uno spazio vettoriale su $K$ .

Teorema
Nelle ipotesi della definizione precedente, fissato $B$ una base di $V$ e $C$ una base di $V^{'}$ , abbiamo che

$L (V, V^{'}) \to M_{m, n} (K)$
$f \mapsto M_{C}^{B} (f)$

è un’applicazione lineare ed è biettiva, ovvero è un isomorfismo.

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