metrizzabilità è proprietà topologica

Proposizione

La metrizzabilità è una proprietà topologica.

Dimostrazione

$X$ metrizzabile e $Y\cong X\Rightarrow \exists d_x$ metrica su $X$ che ne induce la topologia e $\exists f:Y\to X$ omeomorfismo $\sim$

$d_y:Y\times Y\to \mathbb{R}$
$d_y(y_1,y_2)=d_x(f(y_1),f(y_2))$

metrica su $Y$ che induce la topologia di $Y$. Poiché

$$B_{d_Y}(y,r)=f^{-1}(B_{d_X}(f(y),r))\forall y\in Y,\forall r>0$$

un omeomorfismo manda palle in palle, $B_{d_X}(f(y),r)$ è aperto.

…

Risorse