rango di una matrice

Definizione

Sia $A\in M_{m,n}(K)$; definiamo il rango di $A$, e lo denotiamo $rg(A)$.

Il numero naturale

$rg(A)=dim(span(A^{(1)},\dots ,A^{(m)})$)

Osservazione
Se $A\in M_{m,n}(K)$, allora

• $rg(A)\le m$
• $rg(A)\le n$

Osservazione
Se $A\in M_{m,n}(K)$, allora

• $rg(A)\le m$, infatti $A^{(1)},\dots ,A^{(m)}\in K^m$, dunque $span(A^{(1)},\dots ,A^{(m)})\subseteq K^m$, dunque $dim(span(A^{(1)},\dots ,A^{(m)}))\le dim(K^m)$
• $rg(A)\le n$, infatti $A^{(1)},\dots ,A^{(n)}$ ha $n$ generatori, pertanto una base $span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})$ ha al più $n$ generatori, quindi $dim(span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)}))\le n$

quindi $rg(A)\le min\{m,n\}$

Proposizione
$rg(A)=rg({}^{t}A)$

matrice
dimensione di uno spazio vettoriale

Risorse