proprietà dei limiti di successioni in R

Teoremi

Se $\underset{n}{\lim }{a}_n=\ell$ allora $\underset{n}{\lim }{a_n}_k=\ell$

Supponiamo $\ell \in \mathbb{R}$ allora

$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow |a_n-\ell |<\epsilon$
$\Updownarrow$
$\ell -\epsilon <a_n<\ell +\epsilon$

$\forall \epsilon >0,\boxed{\exists \overline{k}}:\forall k,k>\overline{k}\stackrel{?}{\Rightarrow }|a_{n_k}-\ell |<\epsilon$
basta prendere $\overline{k}\ge \overline{n}$, perché $k\to n_k$ è strettamente crescente
$n_k\ge k>\overline{n}$

Idea
Se una successione converge, allora tutte le sottosuccessioni convergono e viceversa.

sottosuccessione

Teorema
Se $(a_n{)}_n$ è una successione monotona, questa ha sempre limite.

Corollario
Se $(a_n{)}_n$ è una successione monotona e limitata, allora $(a_n{)}_n$ è convergente.

successione limitata in R

Osservazione
Se $(a_n{)}_n$ è la restrizione a $\mathbb{N}$ di una funzione in $\mathbb{R}$, cioè $a_n=f(m)$, dove $f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}$,
allora se so calcolare $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ e vale $\ell$, allora $\underset{n}{\lim }{a}_n=\ell$.

Attenzione
$\underset{n}{\lim }{a}_n$ può esistere quando $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ non esiste. Per esempio se $a_n=sin(n\pi )$.

Risorse