teorema di cantor - forma debole e forte

teorema di cantor - forma debole

Teoremi

Teorema di Cantor forma debole
Sia $(I_n{)}_n$ una successione di intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati in R, allora l’intersezione di tutti gli intervalli è non vuota.

$\bigcap _n{I}_n\ne \varnothing$

Teorema di Cantor forma forte
Sia $(I_n{)}_n$ una successione di intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati
allora $\bigcap _n{I}_n\ne \varnothing$ è un insieme con unico punto

$\exists \xi \in \mathbb{R}:\bigcap _n{I}_n=\{\xi \}$

Osservazione
Se gli intervalli non sono chiusi, il teorema non vale.

$I_0=]0,1]$
$I_1=[0,\frac{1}{2}]$
$⋮$
$I_n=[0,\frac{1}{n}]$

$\bigcap _n]0,\frac{1}{n}]=\varnothing$

infatti se $x\le 0$ allora $x\notin ]0,\frac{1}{n}],\forall n$

se $x>0$ allora $\exists \overline{n}:x>\frac{1}{\overline{n}+1}>0$
allora $x\notin ]0,\frac{1}{n+1}]$

Osservazione
Se gli $I_n$ sono chiusi e non inscatolati, di nuovo il teorema non vale.

$\bigcap _n]n,+\infty [=\varnothing$

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Dimostrazione della forma debole del teorema di Cantor
$A=\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$ estremi sinistri
$B=\{b_n:n\in \mathbb{N}\}$ estremi destri

ho che $\forall n,\forall m,a_n\le b_m$

infatti se $n\le m$ allora $[a_n,b_n]\supseteq [a_m,b_m]$
e quindi $a_n\le b_m$

e se $m\le n$ allora $[a_n,b_n]\subseteq [a_m,b_m]$
e quindi $a_n\le b_m$

chiamo $\alpha =supA$ (c’è perché A è superiormente limitato)

ho che $\forall n,a_n\le b_m\Rightarrow \alpha \le b_m$

$b_m$ è un maggiorante di $A\Rightarrow b_m\ge$ minimo dei maggioranti $=supA=\alpha$

ho scoperto che $\forall m$, $B$ è inferiormente limitato ($\alpha$ è minorante)

allora $\beta =infB$ e ho che $\beta \ge \alpha$ ($\beta$ massimo dei minoranti)

ho che $[\alpha ,\beta ]\subseteq [a_n,b_n],\forall n$
allora $[\alpha ,\beta ]\supseteq \bigcap _n{I}_n\Rightarrow \bigcap _n{I}_n\ne \varnothing$

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Dimostrazione della forma forte del teorema di Cantor
Dalla forma debole ho che
$\bigcap _n{I}_n=[\alpha ,\beta ]$

con $\alpha =supA$ e $\beta =infB$

so che $b_n-a_n=\frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2}=\frac{b_{n-2}-a_{n-2}}{4}=\frac{b_{n-3}-a_{n-3}}{8}=\cdots =\frac{b_0-a_0}{2^n}$

per induzione so che $n\le 2^n$

allora $\frac{b_0-a_0}{2^n}\le \frac{b_0-a_0}{n}$

supponiamo che $\alpha <\beta$ per assurdo;

allora $\forall n,b_n-a_n\ge \beta -\alpha$

ma $\frac{b_n-a_n}{n}\ge b_n-a_n$

ossia $\forall n,\frac{b_n-a_n}{n}\ge \beta -\alpha >0$

è possibile? No, per Archimede.

Quindi $\alpha =\beta$

Risorse