teorema se derivabile allora continua in R

Teorema

Sia $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ intervallo, $x_0\in I$,
sia $f$ derivabile in $x_0$,
allora $f$ continua in $x_0$

(se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ è continua in $x_0$)

Intanto $I$ intervallo e quindi tutti i suoi punti sono punti di accumulazione per $I$,
in particolare $x_0$

$f$ continua in $x_0$ $\iff$ $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ $\iff$ $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-f(x_0)=0$

per provare il teorema basta dimostrare che
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-f(x_0)=0$

quindi
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-f(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{f^{\prime }(x_0)\in \mathbb{R}}{\underbrace{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}}\cdot \underset{0}{\underbrace{(x-x_0)}}=0$

$\square$

Vale il viceversa? NO

Basta trovare un esempio di funzione continua che non è derivabile,
per esempio $|x|$ in $0$ è continua, ma
$R_0^{|x|}(x)=\frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{|x|}{x}=\{\begin{array}{ll}1& \text{se }x>0\\ -1& \text{se }x<0\end{array}$

quindi $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{R}_0^{|x|}(x)=-1\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{R}_0^{|x|}(x)=1$

Osservazione
$x\mapsto |x|$ non è derivabile in $0$
e se $x_0\ne 0$ è derivabile? SI

$(|x|{)}^{\prime }=\{\begin{array}{ll}1& \text{se }x>0\\ -1& \text{se }x<0\end{array}$

in $0$ non c’è (la funzione non è derivabile)

Ci sono funzioni che siano continue dappertutto e derivabili da nessuna parte? SI

funzione di Weierstrass

curva di Koch

Dimostrazione

Risorse