teorema spettrale

Teorema

Ogni [matrice simmetrica](matrice simmetrica e antisimmetrica) $A\in M_n(\mathbb{R})$ ammette una [base ortonormale](prodotto scalare, norma, Cauchy-Schwarz, base ortonormale in geometria affine) di autovettori.

Cioè, ogni matrice simmetrica $A\in M_n(\mathbb{R})$ (cioè $A=A^T$) è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale. In altre parole, esiste una matrice ortogonale $P$ (cioè $P^T=P^{-1}$) tale che $P^{T}AP=D$, dove $D$ è una matrice diagonale. Gli elementi sulla diagonale di $D$ sono gli autovalori di $A$, e le colonne di $P$ sono gli autovettori corrispondenti, che formano una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^n$.

Dimostrazione

Risorse