anello quoziente Z su mZ

anello quoziente Z/mZ

Definizione

L’insieme delle classi di congruenza modulo m forma un anello quoziente:

$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}={\mathbb{Z}}_m=\{[0],[1],\dots ,[m-1]\}$$

dove $[a]=\{b\in \mathbb{Z}:b\equiv a(\mathrm{mod}m)\}$.

Operazioni in Zm

• Somma: $[a]+[b]=[a+b]$
• Prodotto: $[a]\cdot [b]=[a\cdot b]$

Interpretazione geometrica: congruenza tra angoli

Esiste un’importante analogia tra le congruenze modulo $m$ in $\mathbb{Z}$ e le congruenze angolari modulo $2\pi$:

• In ${\mathbb{Z}}_m$, due interi sono equivalenti se differiscono per un multiplo di $m$
• Nel caso angolare, due angoli sono equivalenti se differiscono per un multiplo di $2\pi$

Questa analogia permette di visualizzare ${\mathbb{Z}}_m$ come i punti equidistanti su una circonferenza, dove la “distanza” tra punti consecutivi è $2\pi /m$.

Proprietà strutturali

• $({\mathbb{Z}}_m,+)$ è un gruppo ciclico di ordine $m$
• $({\mathbb{Z}}_m,+,\cdot )$ è un campo se e solo se $m$ è primo
• Il gruppo moltiplicativo $U_m$ ha ordine $\phi (m)$ (funzione di Eulero)

Risorse