approfondimento sul determinante
Proprietà del determinante
Proposizione
Il determinante gode della seguenti 3 proprietà:
: (multilinearità)
Sia e supponiamo che (la i-esima riga è la somma di due vettori riga), allora
A_{(1)} \\ \vdots \\ R_1 + R_2 \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ R_1 \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix} + det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ R_2 \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix}$$ inoltre se invece $A_{(i)} = c \cdot R$ per qualche $c \in K$ e qualche vettore riga $R$, allora $$det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ c \cdot R \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix} = c \cdot det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ R \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix}$$ analoghe proprietà valgono se al posto delle righe consideriamo le colonne. $D2$: (alternanza o antisimmetria) se scambiamo due righe o due colonne di posto, il determinante cambia di segno, ovvero $$det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ A_{(i)} \\ \vdots \\ A_{(j)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix} = -det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ A_{(j)} \\ \vdots \\ A_{(i)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix}$$ se ci sono $k$ scambi, il segno va dunque moltiplicato per $(-1)^k$. $D3$: (normalizzazione) $det\ 1_n = 1$ **Teorema (di caratterizzazione del determinante)** Il determinante è l'unica funzione $M_n (K) \rightarrow K$ che soddisfa le proprietà $D1$, $D2$ e $D3$. **Corollario** $i)$ se $A$ ha due righe uguali, allora $det(A) = -det(A)$ (per $D2$) e dunque $det(A) = 0$; analogamente per le colonne. $ii)$ se $A$ ha una riga nulla, allora $det(A) = 0$ (per $D1$) **Corollario** $i)$ se $\tilde{A}$ è ottenuta da $A$ con una operazione elementare $OE1$, allora $det(\tilde{A}) = -det(A)$ $ii)$ se $\tilde{A}$ è ottenuta da $A$ con una operazione elementare $OE2$, allora $det(\tilde{A}) = c \cdot det(A)$ $iii)$ se $\tilde{A}$ è ottenuta da $A$ con una operazione elementare $OE3$, allora $det(\tilde{A}) = det(A)$; infatti se $$A = \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix}$$ allora $$\tilde{A} = \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ A_{(i)} + c \cdot A_{(j)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix}$$ $$det \tilde{A} = det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ A_{(i)} + c \cdot A_{(j)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix} \stackrel{D1}{=} det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ A_{(i)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix} + det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ c \cdot A_{(j)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix} \stackrel{D1}{=} det(A) + c \cdot \underbrace{det \begin{pmatrix} A_{(1)} \\ \vdots \\ A_{(j)} \\ \vdots \\ A_{(n)} \end{pmatrix}}_{\text{ha due righe uguali, quindi } det = 0} = det A$$ **Corollario** Se $A \in M_n(K)$ e $\tilde{A}$ è la matrice a scala ottenuta applicando l'algoritmo di gradinizzazione di Gauss a $A$, allora $det(\tilde{A}) = \lambda \cdot det(A)$ per un certo $\lambda \in K \smallsetminus \{0\}$ in particolare $det(A) = 0 \Leftarrow det(\tilde{A}) = 0$ inoltre se nell'algoritmo di gradinizzazione di Gauss non effettuiamo noi la normalizzazione dei pivot a $1$, allora $det(\tilde{A}) = (-1)^k \cdot det(A)$, dove $k$ è il numero di scambi di righe che abbiamo effettuato. **Proposizione** Se $A \in M_n(K)$ è una matrice triangolare superiore, ovvero $a_{ij} = 0$ per $i > j$, allora $det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn}$ **Dimostrazione** Dimostriamo questo risultato per induzione su $n$: $\boxed{n = 1}$ in questo caso $A = a_{11}$ e $det(A) = a_{11}$ per definizione. Quindi vale la tesi. $\boxed{\text{passo induttivo}}$ possiamo supporre $n > 1$, allora per definizione $det(A) = a_{11} \cdot det(A_{11}) - 0 \cdot det(A_{21}) + 0 \cdot det(A_{31}) + \dots + (-1)^{n + 1} \cdot det(A_{n-1}) = a_{11} \cdot det(A_{11})$ $$A_{11} = \begin{pmatrix} a_{22} & \dots & \dots & a_{2n} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}$$ dunque $A_{11} \in M_{n-1}(K)$, ed è triangolare superiore, allora posso usare l'ipotesi induttiva su $A_{11}$ e ottengo $det(A) = a_{11} \cdot det(A_{11}) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn}$ pertanto $det(A) = a_{11} \cdot det(A_{11}) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn}$ $\square$ Con questi strumenti possiamo dimostrare il risultato secondo cui il determinante caratterizza l'invertibilità o meno di una matrice. **Teorema** Sia $A \in M_n(K)$; vale che $rg(A) < n \iff det(A) = 0$ equivalentemente $rg(A) = n \iff det(A) \neq 0$ **Dimostrazione** "$\Rightarrow$" supponiamo che $rg(A) < n$; sia $\tilde{A}$ la matrice ottenuta da $A$ applicando l'algoritmo di gradinizzazione di Gauss; allora $\tilde{A}$ ha una riga nulla, pertanto $det(\tilde{A}) = 0$ e ciò è equivalente a $det(A) = 0$. $\Leftarrow$" supponiamo che $det(A) = 0$; sia $\tilde{A}$ la matrice ottenuta da $A$ applicando l'algoritmo di gradinizzazione di Gauss; allora $det(\tilde{A}) = 0$; $\tilde{A}$ è a scala e dunque è triangolare superiore, quindi il suo determinante è il prodotto dei suoi elementi della diagonale; pertanto almeno un elemento della diagonale è nullo, e quindi almeno un gradino di $\tilde{A}$ è lungo almeno $2$, il che implica che $rg(\tilde{A}) < n$, ovvero $rg(A) < n$. **Corollario** Sia $A \in M_n(K)$; allora $A$ è invertibile $\iff$ $det(A) \neq 0$ [[teorema dell'invertibilità tramite determinante]] ## Risorse