cofattore e matrice dei cofattori

Definizione

Sia $A\in M_n(K)$ e siamo $i,j\in \{1,\dots ,n\}$; il cofattore $i,j$-esimo di $A$ è lo scalare $(-1{)}^{i+j}\cdot det{A}_{ij}$

dove ricordiamo che $A_{ij}$ è il minore $i,j$-esimo della matrice $A$.
Definiamo la matrice dei cofattori di $A$ come quella matrice
$cofA\in M_n(K)$ il cui elemento di posto $(i,j)$ è il cofattore $i,j$-esimo di $A$.
Dunque $(cofA{)}_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot det{A}_{ij}$

Proposizione
Sia $A\in M_n(K)$; allora

$A\cdot {}^{t}cofA=(detA)\cdot 1_n$

in particolare se $A$ è invertibile, allora

$A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot ({}^{t}cofA)$

Dimostrazione
Calcoliamo l’entrata di posto $(i,j)$ della matrice $A\cdot {}^{t}cofA$:

$A_{(i)}\cdot ({}^{t}cofA{)}^{(j)}=$

$=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\cdot ({}^{t}cofA{)}_{kj}=$

$=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\cdot (cofA{)}_{kj}=$

$=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\cdot (-1{)}^{j+k}\cdot det{A}_{jk}$

si verifica che

• se $i=j$ allora quello precedente è l’espressione di $detA$
• se $i\ne j$ allora quello precedente è l’espressione del determinante di una matrice con due righe uguali, e quindi vale zero.

$\square$

determinante di una matrice

Risorse