dominio di integrità

Definizione

Un anello $(A,+,\cdot )$ unitario e commutativo si dice dominio di integrità se $\forall x,y\in A$ si ha che $x\cdot y=0\Rightarrow x=0\vee y=0$.

Equivalentemente, si dice che $A$ non ha divisori dello zero.

Osservazione

In un dominio d’integrità vale la legge di cancellazione: $a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$ (per $a\ne 0$).

Infatti siano $a,b,c\in A$ tali che $a\ne 0$ e $ab=ac$, segue che $ab-ac=a(b-c)=0$ e dalla definizione $(b-c)=0$; ovvero $b=c$.

Risorse