campo

Definizione (Logar)

Un anello $(A,+,\cdot )$ unitario, commutativo e che ammette inversi rispetto a $\cdot$ in $A\setminus \{0\}$ si dice campo.

SI può dimostrare che un campo è sempre un dominio di integrità.

Definizione

Un campo è una struttura algebrica $(K,+,\cdot )$ dove $K$ è un insieme non vuoto e $+,\cdot$ sono due operazioni binarie su $K$ che soddisfano i seguenti assiomi:

• $(K,+,\cdot )$ è un anello commutativo con unità.
• Esistenza dell’inverso moltiplicativo: $\forall a\in K\setminus \{0\},\exists a^{-1}\in K$ tale che $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1$

In altre parole, un campo è un anello commutativo con unità in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Definizione (Gallet)

Sia K un insieme su cui siano definite un’operazione di somma e una operazione di moltiplicazione, ovvero

$+:K\times K\to K$
$(a,b)\mapsto a+b$

$\cdot :K\times K\to K$
$(a,b)\mapsto a\cdot b$

tale per cui siano soddisfatte le seguenti proprietà:

K1: commutatività:
$\forall a,b\in K,a+b=b+a,a\cdot b=b\cdot a$

K2: associatività:
$\forall a,b,c\in K,(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

K3: esistenza dell’elemento neutro:
$\exists 0\in K$, tale che $\forall a\in K,a+0=0+a=a$
$\exists 1\in K$, tale che $\forall a\in K,a\cdot 1=1\cdot a=a$
e inoltre $0\ne 1$

K4: esistenza di opposto e inverso:
$\forall a\in K,\exists b\in K$, tale che $a+b=b+a=0$
(denotiamo $b$ con $-a$)
$\forall a\in K\setminus \{0\},\exists c\in K$, tale che $a\cdot c=c\cdot a=1$
(denotiamo $c$ con $a^{-1}$ o con $1/a$)

K5: distributività: $\forall a,b,c\in K,a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

un tale insieme si dice campo.

Esempi
$\mathbb{Q}$ è un campo
$\mathbb{R}$ è un campo
$\mathbb{C}$ è un campo
$\mathbb{N}$ non è un campo
$\mathbb{Z}$ non è un campo

Risorse