geometria dello spazio affine

Definizione

In $A^{3}$ , dim $A = 3$ . Sia $S$ un sottospazio affine. Abbiamo quattro possibilità:

dim $S = 0$ : $S$ è un punto.
dim $S = 1$ : $S$ è una retta.
dim $S = 2$ : $S$ è un piano.
dim $S = 3$ : $S = A^{3}$ .

Retta in $A^{3}$ :

Una retta in $A^{3}$ passante per $Q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})$ e con giacitura $W = Span (v)$ , dove $v = (l, m, n)$ , ha equazioni parametriche:

$x = q_{1} + lt$
$y = q_{2} + m t$
$z = q_{3} + n t$

Per ottenere le equazioni cartesiane, imponiamo che la matrice $x - q_{1} y - q_{2} z - q_{3} l m n$ abbia rango 1.

Piano in $A^{3}$ :

Un piano in $A^{3}$ passante per $Q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})$ e con giacitura $W = Span (v_{1}, v_{2})$ , dove $v_{1} = (l_{1}, m_{1}, n_{1})$ e $v_{2} = (l_{2}, m_{2}, n_{2})$ sono linearmente indipendenti, ha equazioni parametriche:

$x = q_{1} + l_{1} t_{1} + l_{2} t_{2}$
$y = q_{2} + m_{1} t_{1} + m_{2} t_{2}$
$z = q_{3} + n_{1} t_{1} + n_{2} t_{2}$

Per ottenere l’equazione cartesiana, imponiamo che la matrice $x - q_{1} y - q_{2} z - q_{3} l_{1} m_{1} n_{1} l_{2} m_{2} n_{2}$ abbia rango 2.

geometria del piano affine

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