nucleo e immagine di applicazioni lineari

Definizione

Sia $f:V\to V^{\prime }$ un’applicazione lineare; definiamo il nucleo di $f$ come il sottoinsieme:

$kerf=\{v\in V:f(v)=0\}$

quindi $kerf\subseteq V$; definiamo l’immagine di $f$ come il sottoinsieme:

$imf=\{v^{\prime }\in V^{\prime }:\text{ esiste }v\in V:f(v)=v^{\prime }\}$

quindi $imf\subseteq V^{\prime }$

Proposizione
Sia $f:V\to V^{\prime }$ un’applicazione lineare; allora $kerf$ è sottospazio vettoriale di $V$ e $imf$ è sottospazio vettoriale di $V^{\prime }$.

Dimostrazione
Consideriamo per primo $kerf$:

$i.$ verifichiamo che $f(0)=0$; vale infatti che
$f(0)=f(0+0)\stackrel{AL1}{=}f(0)+f(0)$
$\Rightarrow f(0)=f(0)+f(0)$
$\Rightarrow f(0)=0$

quindi $0\in kerf$

$ii.$ siano $v_1,v_2\in kerf$, dobbiamo mostrare che $v_1+v_2\in kerf$, ovvero che $f(v_1+v_2)=0$; per ipotesi $f(v_1)=0$ e $f(v_2)=0$, allora

$f(v_1+v_2)\stackrel{AL1}{=}f(v_1)+f(v_2)=0+0=0$

$iii.$ Sia $v\in kerf$ e sia $\lambda \in K$, dobbiamo mostrare che $\lambda v\in kerf$, ovvero che $f(\lambda v)=0$; per ipotesi $f(v)=0$, allora

$f(\lambda v)\stackrel{AL2}{=}\lambda f(v)=\lambda \cdot 0=0$

quindi $kerf$ è sottospazio vettoriale.

Consideriamo ora $imf$:

$i.$ vale che $0=f(0)$, dunque $0\in imf$

$ii.$ siano $v_1^{\prime },v_2^{\prime }\in imf$, dobbiamo mostrare che $v_1^{\prime }+v_2^{\prime }\in imf$; per ipotesi esistono $v_1,v_2\in V$ tali che $f(v_1)=v_1^{\prime }$ e $f(v_2)=v_2^{\prime }$, allora

$f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=v_1^{\prime }+v_2^{\prime }$

pertanto $v_1^{\prime }+v_2^{\prime }$ è immagine di un elemento di $V$, quindi $v_1^{\prime }+v_2^{\prime }\in imf$

$iii.$ Sia $v^{\prime }\in V^{\prime }$ e sia $\lambda \in K$, sia $v^{\prime }\in imf$, dobbiamo mostrare che $\lambda v^{\prime }\in imf$; per ipotesi esiste $v\in V$ tale che $f(v)=v^{\prime }$, allora

$f(\lambda v)=\lambda f(v)=\lambda v^{\prime }$

pertanto $\lambda v^{\prime }$ è immagine di un elemento di $V$, quindi $\lambda v^{\prime }\in imf$

dunque $imf$ è sottospazio vettoriale.

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Nucleo e immagine determinano due importanti proprietà di $f$ come funzione

Proposizione
Sia $f:V\to V^{\prime }$ un’applicazione lineare; allora

1. $f$ è iniettiva $\iff kerf=0$
2. $f$ è suriettiva $\iff imf=V^{\prime }$

Dimostrazione
$2.$ è una parafrasi del concetto di suriettività.

$1.$
"$\Rightarrow$"
Supponiamo $f$ iniettiva e dimostriamo che $kerf=0$; per farlo consideriamo $v\in kerf$ e mostriamo che deve essere $v=0$; dato che $v\in kerf$, abbiamo che $f(v)=0$; d’altra parte $f(0)=0$; dato che $f$ è iniettiva, ciò è possibile solo se $v=0$.
"$\Leftarrow$"
Supponiamo $kerf=0$ e mostriamo che $f$ è iniettiva; per farlo consideriamo $v_1,v_2\in V$ tali che $f(v_1)=f(v_2)$ e mostriamo che $v_1=v_2$; se vale $f(v_1)=f(v_2)$, allora $f(v_1)-f(v_2)=0$, quindi (uso $AL1/2$) $f(v_1-v_2)=0$, dunque $v_1-v_2\in kerf$, pertanto, dato che $kerf$ è dato in questo caso dal solo elemento neutro, abbiamo $v_1-v_2=0$, ovvero $v_1=v_2$.

Teorema (di struttura per applicazioni lineari)
Siano $V$ e $V^{\prime }$ due spazi vettoriali su $K$ di dimensione finita (non è necessario che $V$ e $V^{\prime }$ abbia la stessa dimensione); sia $B=\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ una base di $V$ e siano $v_1^{\prime },v_2^{\prime },\dots ,v_n^{\prime }\in V^{\prime }$ vettori qualsiasi (non c’è alcuna restrizione, potrebbero essere anche tutti uguali o tutti nulli); allora esiste un’unica applicazione lineare $f:V\to V^{\prime }$ tale che $f(v_i)=v_i^{\prime }$ per ogni $i\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Dimostrazione
Supponiamo che una tale applicazione lineare esista ì; sia $v\in V$ (vogliamo capire chi sia $f(v)$); per ipotesi, $B$ è una base di $V$, quindi $v$ si scrive in maniera unica come $v={\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n$ con ${\lambda }_i\in K$; allora

$f(v)=f({\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n)\stackrel{AL1}{=}f({\lambda }_1{v}_1)+\cdots +f({\lambda }_n{v}_n)\stackrel{AL2}{=}{\lambda }_{1}f(v_1)+\cdots +{\lambda }_{n}f(v_n)={\lambda }_1{v}_1^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n{v}_n^{\prime }$

quindi l’immagine di $v\in V$ è univocamente determinata dalle proprietà che abbiamo supposto essere vere per $f$; pertanto, se $f$ esiste, essa è unica; dobbiamo ora mostrare che $f$ esiste; per farlo usiamo il suggerimento che ci è dato dall’argomento usato appena qui sopra, ovvero, se $v\in V$, definiamo $f(v)$ nel modo seguente: scriviamo $v$ come combinazione lineare in modo unico di $B$, dunque $v={\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n$ e definiamo $f(v)={\lambda }_1{v}_1^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n{v}_n^{\prime }$, avendola definita in questa maniera, segue immediatamente che $f(v_i)=v_i^{\prime }$ per ogni $i\in \{1,2,\dots ,n\}$, infatti $v_i=0\cdot v_1+\cdots +\cdot v_i+\cdots +0\cdot v_n$, quindi $f(v_i)=0\cdot v_1^{\prime }+\cdots +\cdot v_n^{\prime }=v_i^{\prime }$; l’ultima cosa che dobbiamo mostrare è che $f$, così definita, è una applicazione lineare; siano quindi $u,v\in V$, dobbiamo mostrare che $f(u+v)=f(u)+f(v)$, scriviamo $u$ e $v$ come combinazioni lineari di $B$:
$u={\mu }_1{v}_1+\cdots +{\mu }_n{v}_n$
$v={\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n$
da ciò segue che vale
$f(u)={\mu }_1{v}_1^{\prime }+\cdots +{\mu }_n{v}_n^{\prime }$
$f(v)={\lambda }_1{v}_1^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n{v}_n^{\prime }$
inoltre
$(u+v)=({\mu }_1+{\lambda }_1)v_1+\cdots +({\mu }_n+{\lambda }_n)v_n$
quindi
$f(u+v)=({\mu }_1+{\lambda }_1)v_1^{\prime }+\cdots +({\mu }_n+{\lambda }_n)v_n^{\prime }=$
$=({\mu }_1+v_1^{\prime }+\cdots +{\mu }_n+v_n^{\prime })+({\lambda }_1+v_1^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n+v_n^{\prime })=f(u)+f(v)$

pertanto è additiva; analogamente si dimostra che $f$ è omogenea.

Risorse