omeomorfismo

Definizione

Siano $X$ e $Y$ spazi topologici. Un’applicazione $f : X \to Y$ è detta omeomorfismo se valgono le seguenti:

Diciamo che $X$ e $Y$ sono omeomorfi se esiste un omeomorfismo $f : X \to Y$ e in tal caso scriviamo $X ≅ Y$ .

Gli omeomorfismi si chiamano anche applicazioni bicontinue.

$id_{X} : X \to X$ omeomorfismo per ogni spazio $X$ (stessa topologia)
$f : X \to Y$ omeomorfismo $\Rightarrow f^{- 1} : Y \to X$ omeomorfismo
$f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ omeomorfismi $\Rightarrow g \circ f : X \to Z$ omeomorfismo
L’omeomorfismo è una relazione di equivalenza tra spazi topologici

Data $f : X \to Y$ biiettiva, allora $f^{- 1}$ continua $\Leftrightarrow f$ aperta $\Leftrightarrow f$ chiusa.

Quindi:
$f : X \to Y$ aperta e biiettiva, è omeomorfismo $\Leftrightarrow f$ aperta $\Leftrightarrow f$ chiusa.