prodotto scalare, norma, Cauchy-Schwarz, base ortonormale in geometria affine

Definizione

Prodotto Scalare
Il prodotto scalare tra due vettori $v=(v_1,\dots ,v_n)$ e $w=(w_1,\dots ,w_n)$ in ${\mathbb{R}}^n$ è definito come:

$v\cdot w=v_1{w}_1+\cdots +v_n{w}_n$

Norma: $||v||=\sqrt{v\cdot v}$

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: $|v\cdot w|\le ||v||\cdot ||w||$

Corollario
$-||v||\cdot ||w||\le v\cdot w\le ||v||\cdot ||w||$
$\Rightarrow -1\le \frac{v\cdot w}{||v||\cdot ||w||}\le 1$

Base Ortonormale: Una base $B$ di ${\mathbb{R}}^n$ è ortonormale se i suoi vettori sono a due a due ortogonali e hanno norma 1.

Risorse