proprietà dell’insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann

Teoremi

$1)$ se $f,g\in \mathcal{R}([a,b])$,
allora $f+g\in \mathcal{R}([a,b])$ e
${\int }_{[a,b]}f+g={\int }_{[a,b]}f+{\int }_{[a,b]}g$

Fisso $\epsilon >0$
so che $f\in \mathcal{R}([a,b])$
$\Rightarrow \exists \Delta \in \mathcal{D}:S(f,\Delta )-s(f,\Delta )<\frac{\epsilon }{2}$
se che $g\in \mathcal{R}([a,b])$
$\Rightarrow \exists \Gamma \in \mathcal{D}:S(g,\Gamma )-s(g,\Gamma )<\frac{\epsilon }{2}$

Considero $\Delta \cup \Gamma$
$S(f,\Delta \cup \Gamma )-s(f,\Delta \cup \Gamma )<\frac{\epsilon }{2}$
$S(g,\Delta \cup \Gamma )-s(g,\Delta \cup \Gamma )<\frac{\epsilon }{2}$
sommandoli ottengo
$S(f,\Delta \cup \Gamma )+S(g,\Delta \cup \Gamma )-s(f,\Delta \cup \Gamma )-s(g,\Delta \cup \Gamma )<\epsilon$
quindi
$S(f+g,\Delta \cup \Gamma )\le S(f,\Delta \cup \Gamma )+S(g,\Delta \cup \Gamma )$
$su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)+g(x)\le su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)+su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}g(x)$
$s(f+g,\Delta \cup \Gamma )\ge s(f,\Delta \cup \Gamma )+s(g,\Delta \cup \Gamma )$
$\Rightarrow S(f+g,\Delta \cup \Gamma )-s(f+g,\Delta \cup \Gamma )<\epsilon$
si (vede con un ragionamento un po’ noioso) che
${\int }_{[a,b]}f+g={\int }_{[a,b]}f+{\int }_{[a,b]}g$

$2)$ $f\in \mathcal{R}([a,b])$ e $\lambda \in \mathbb{R}$,
allora $\lambda f\in \mathcal{R}([a,b])$ e
${\int }_{[a,b]}\lambda f=\lambda {\int }_{[a,b]}f$

Osservazione
$\mathcal{R}([a,b])$ è spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ e
${\int }_{[a,b]}:\mathcal{R}([a,b])\to \mathbb{R}$
$f\mapsto {\int }_{[a,b]}f$
è una funzione lineare.

$3)$ se $f,g\in \mathcal{R}([a,b])$ e
$\forall x\in [a,b],f(x)\ge g(x)$,
allora ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$

$4)$ se $f\in \mathcal{R}([a,b])$,
allora $|f|\in \mathcal{R}([a,b])$ e
$|{\int }_{[a,b]}f|\le {\int }_{[a,b]}|f|$

$5)$ sia $f\in \mathcal{R}([a,b])$ e sia $c\in ]a,b[$,
allora $f_{[a,c]}$ e $f_{[c,b]}$
sono integrabili secondo Riemann rispettivamente
su $[a,c]$ e su $[c,b]$
e ${\int }_{[a,b]}f={\int }_{[a,c]}f+{\int }_{[c,b]}f$

Convenzione
$a,b,c\in \mathbb{R}$ disposti come si vuole
($a<b<c$ o $a<c<b$ o $\dots$)

poniamo ${\int }_a^{b}f(t)dt=-{\int }_b^{a}f(t)dt$

da cui ${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{c}f(t)dt+{\int }_c^{b}f(t)dt$

Risorse