spazio affine

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ (ad esempio $K=\mathbb{R}$). Un insieme $A$ si dice spazio affine su $V$ se esiste una funzione $\sigma :A\times A\to V$ (denotata $\sigma (P,Q)=\overrightarrow{PQ}$ per ogni coppia $P,Q\in A$) che soddisfa:

• SA1 (Esistenza e Unicità): $\forall P\in A$ e $\forall v\in V$, esiste un unico $Q\in A$ tale che $v=\overrightarrow{PQ}$.
• SA2 (Relazione di Chasles): $\forall P,Q,R\in A$, vale $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$.

Gli elementi di $A$ si dicono punti.

Quando consideriamo $A$ come spazio affine, lo denotiamo con ${\mathbb{A}}_K^n$ e i suoi elementi come vettori riga. Quando consideriamo $K^n$ come spazio vettoriale, denotiamo i suoi elementi come vettori colonna.

Lemma: Sia $A$ uno spazio affine su $V$. Allora:

1. $\forall P\in A$, $\overrightarrow{PP}=0$ (vettore nullo in $V$).
2. $\forall P,Q\in A$, $\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{QP}$.

Risorse