teorema del completamento o dell’estensione di una base

Teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ finitamente generato e siano $\{v_1,\dots ,v_p\}$ vettori linearmente indipendenti; allora esiste una base $B$ di $V$ tale che $\{v_1,\dots ,v_p\}\subseteq span(B)$ (ovvero $\{v_1,\dots ,v_p\}$ possono essere completati a una base di $B$).

base di uno sottospazio vettoriale
teorema di estrazione di una base

Dimostrazione

(idea) dato che $B$ è finitamente generato, esiste $\{w_1,\dots ,w_r\}$ un sistema di generatori finito di $V$; allora $\{v_1,\dots ,v_p{w}_1,\dots ,w_r\}$ è anch’esso un sistema di generatori per $V$; ora applico a quest’ultimo insieme l’algoritmo dello scarto, ottenendo una base $B$ di $V$; per come è fatto l’algoritmo dello scarto e dato che $v_1,\dots ,v_p$ sono linearmente indipendenti per ipotesi, essi saranno sempre scelti dall’algoritmo, e pertanto avremmo che $\{v_1,\dots ,v_p\}\subseteq B$.

Risorse