teorema di compattezza

Teorema in Rn

Se $f:K\subseteq {\mathbb{R}}^N\to {\mathbb{R}}^M$ è continua e $K$ è compatto, allora $f(K)$ è compatto.

Teorema in R

Sia $K\subset \mathbb{R}$, $K$ compatto
sia $f:K\to \mathbb{R}$ una funzione continua,
allora $f(K)$ è compatto.

Dimostrazione

Devo provare che $f(K)$ è compatto,

prendo $(y_n{)}_n$ successione in $f(K)$,
devo provare che esiste $(y_{n_k}{)}_k$ sottosuccessione tale che
$\underset{k}{\lim }{y}_{n_k}=\overline{y}\in f(K)$

$(y_n{)}_n$ è una successione in $f(K)$
quindi $\forall y_n\in f(K),\exists x_n\in K:f(x_n)=y_n$

quindi $(y_n{)}_n$ in $f(K)$ è immagine di $(x_n{)}_n$ in $K$

$K$ è compatto,
allora $\exists (x_{n_k}{)}_k$ sottosuccessione tale che
$\underset{k}{\lim }{x}_{n_k}=\overline{x}\in K$

ma $f$ è continua,
allora $\underset{k}{\lim }f(x_{n_k})=f(\overline{x})\in f(K)$

Chi è $f(x_{n_k})$?

$f(x_{n_k})=y_{n_k}$
e quindi
$\underset{k}{\lim }{y}_{n_k}=f(\overline{x})\in f(K)$

$\square$

Corollario
Una funzione continua manda chiusi e limitati in chiusi e limitati.

Osservazione
Un chiuso e limitato ha massimo? Ha minimo? Sì.

Risorse