teorema di Heine-Borel (caratterizzazione dei compatti)

teorema di Heine-Borel

Teorema in Rn

Un insieme $K\subseteq {\mathbb{R}}^N$ è compatto se e solo se $K$ è chiuso e limitato.

Teorema in R

Sia $E\in \mathbb{R}$, $E$ è compatto se e solo se $E$ è chiuso e limitato.

La dimostrazione inizia dopo il lemma.

Lemma (caratterizzazione di chiusi tramite le successioni)

Sia $E\in \mathbb{R}$, $E$ è chiuso se e solo se vale la seguente proprietà:

$(\ast )$ se una successione a valori in $E$ è convergente, allora il limite appartiene all’insieme.

Dimostrazione
"$\Rightarrow$"
Sia $E$ chiuso
supponiamo che $(\ast )$ non sia vera
quindi c’è una successione in $E$ ($\forall n,a_n\in E$)
che converge a un punto di $\overline{a}\notin E$ ($\underset{n}{\lim }{a}_n=\overline{a}\notin E$)
$E$ è chiuso $\Rightarrow \mathcal{C}E$ è aperto
allora $\exists \epsilon >0:]\overline{a}-\epsilon ,\overline{a}+\epsilon [$
non è possibile perché $a_n\in E,\forall n,]\overline{a}-\epsilon ,\overline{a}+\epsilon [\subseteq \mathcal{C}E$

"$\Leftarrow$"
Sia valida $(\ast )$,
provo che $\mathcal{C}E$ è aperto ($\forall x\in \mathcal{C}E,\exists \epsilon >0:]x-\epsilon ,x+\epsilon [\subseteq \mathcal{C}E$)

per assurdo $\mathcal{C}E$ non è aperto,
$\exists \overline{x}\in \mathcal{C}E:\forall \epsilon >0,]\overline{x}-\epsilon ,\overline{x}+\epsilon [\cap E\ne \varnothing$

quindi
$\exists \overline{x}\in \mathcal{C}E:\forall n,]\overline{x}-\frac{1}{n},\overline{x}+\frac{1}{n}[\cap E\ne \varnothing$

quindi
$\forall n,\exists x_n\in E:|x_n-\overline{x}|<\frac{1}{n}$

quindi ho trovato una successione in $E$ che converge a un punto fuori da $E$, impossibile.

$\square$

Dimostrazione

"$\Rightarrow$"
Provo che se $E$ è compatto, allora $E$ è chiuso e limitato.

Per assurdo supponiamo che $E$ non sia limitato,

se $E$ non è limitato, per esempio, non è superiormente limitato,
è possibile trovare dentro a $E$ una successione $(a_n{)}_n$ tale che $\underset{n}{\lim }{a}_n=+\infty$,
ho l’assurdo perché questa successione non ha sottosuccessioni convergenti a un punto di $E$.

Per assurdo supponiamo che $E$ non sia chiuso,

per il lemma, non vale la proprietà (*),
allora $\exists (a_n{)}_n$ in $E$ tale che $\underset{n}{\lim }{a}_n=\overline{a}\notin E$,
allora tutte le sottosuccessioni vanno ad $\overline{a}\notin E$,
invece essendo $E$ compatto, $(a_n{)}_n$ dovrebbe avere almeno una sottosuccessione che converge a un punto di $E$.
ASSURDO

"$\Leftarrow$"
$E$ sia chiuso e limitato, proviamo che è compatto.

Prendo $(a_n{)}_n$ successione in $E$ (limitato),
per il secondo teorema di Bolzano-Weierstrass,
$(a_n{)}_n$ ha una sottosuccessione convergente,
ma allora $(a_{n_k}{)}_k$ è una successione a valori in $E$ che converge,
ma $E$ è chiuso $\Rightarrow$ il $\underset{k}{\lim }{a}_{n_k}=\overline{a}\in E$, per la proprietà $(\ast )$,
quindi per ogni $(a_n{)}_n$ a valori in $E$,
posso estrarre una $(a_{n_k}{)}_k$ che converge a un punto di $E$ $\Rightarrow$ $E$ è compatto.

Risorse

Il teorema di Heine-Borel afferma che se $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$, allora $E$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Wikipedia