teorema di struttura per sistemi lineari arbitrari

Teorema

Consideriamo un sistema lineare
$AX=b$ con $A\in M_{m,n}(K)$ e $b\in K^m$,
e sia $\tilde{s}$ una sua soluzione;

allora un elemento $s\in K^n$ è soluzione di $AX=b$
se e solo se possiamo scrivere $s=\tilde{s}+s_0$,
dove $s_0$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo $AX=0$.

In altre parole, l’insieme delle soluzioni di $AX=b$ è l’insieme

$\left\{s\in K^n:s=\tilde{s}+s_0\right\}$ per $s_0$ soluzione di $AX=0$

(il sistema $AX=0$ si dice il sistema lineare omogeneo associato al sistema $AX=b$).

Dimostrazione

$s\in K^n$ è soluzione di $AX=b$ $⟺$ $\exists s_0\in K^n$ soluzione di $AX=0$ tale che $s=\tilde{s}+s_0$

"$\Rightarrow$"
supponiamo che $s$ sia soluzione di $AX=0$

dobbiamo mostrare che esiste $s\in K^n$ soluzione di $AX=0$ tale che $s=\tilde{s}+s_0$; definiamo $s_0=s-\tilde{s}$; allora vale che $s=\tilde{s}+s_0$; ci resta da verificare che $s_0$ così ottenuto è soluzione del sistema lineare omogeneo associato; calcoliamo dunque $A\cdot s_0$ e verifichiamo che valga $0$:

$A\cdot s_0=A(s-\tilde{s})=As-A\tilde{s}=b-b=0$

(per definizione; per la proprietà distributiva; per ipotesi)

$\square$

"$\Leftarrow$"
supponiamo che $\exists s_0\in K^n$ soluzione di $AX=0$ tale che $s=\tilde{s}+s_0$; dobbiamo mostrare che $s$ è soluzione di $AX=b$; calcoliamo dunque $A\cdot s$ e verifichiamo che sia uguale a $b$.

$A\cdot s=A(\tilde{s}+s_0)=A\tilde{s}+A{s}_0=b+0=b$

(per ipotesi; per la proprietà distributiva; per ipotesi)

$\square$

Quindi, data una soluzione particolare $\tilde{s}$ di $AX=b$, possiamo scrivere che l’insieme di tutte le soluzioni di $AX=b$ è

$\left\{\tilde{s}+s_0:s_0\text{ soluzione di }AX=0\right\}$

Osservazione
Le soluzioni di $AX=b$ formano un sottospazio vettoriale di $K^n$ se e solo se $b=0$. Infatti

"$\Rightarrow$"
se le soluzioni di $AX=b$ sono un sottospazio vettoriale di $K^n$ allora $0\in K^n$ è soluzione, dunque $A\cdot 0=b$, pertanto $b=0$.

"$\Leftarrow$"
se $b=0$, allora il sistema è omogeneo e la tesi segue dal teorema di struttura per sistemi lineari omogenei.

Risorse