teorema di dimensione per applicazioni lineari e corollari

Teorema

Sia $f:V\to V^{\prime }$ applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita, vale allora
$dimV=dimkerf+dimimf$
o, in altre parole
$dimV=dimkerf+rgf$

Dimostrazione

Sia $n=dimV$ e fissiamo una base $B_{ker}$ di $kerf$; sia $B_{ker}=\{v_1,\dots ,v_k\}$, dunque $dimkerf=k$; ora, per costruzione $v_1,\dots ,v_k$ sono linearmente indipendenti, dunque essi possono essere estesi a una base di $V$ (teorema di estensione); sia essa

$B=\{v_1,\dots ,v_k,v_{k+1},\dots ,v_n\}$

raggiungiamo il nostro scopo se riusciamo a mostrare che $\{f(v_{k+1}),\dots ,f(v_n)\}$ è una base di $imf$, perché in tal caso abbiamo che $dimimf=n-k$ e dunque $dimV=n=k+(n-k)=dimkerf+dimimf$; dimostriamo dunque che $\{f(v_{k+1}),\dots ,f(v_n)\}$ è una base di $imf$;
cominciamo mostrando che tali elementi sono linearmente indipendenti; supponiamo quindi che esista una loro combinazione lineare nulla:
$a_{k+1}f(v_{k+1})+\cdots +a_{n}f(v_n)=0$ per certi $a_{k+1},\dots ,a_n\in K$
allora, dato che $f$ è lineare
$f(a_{k+1}{v}_{k+1}+\cdots +a_n{v}_n)=0$
allora $a_{k+1}{v}_{k+1}+\cdots +a_n{v}_n\in kerf$, quindi
$a_{k+1}{v}_{k+1}+\cdots +a_n{v}_n=b_1{v}_1+\cdots +b_k{v}_k$ per certi $b_1,\dots ,b_k\in K$ dato che $\{v_1,\dots ,v_k\}$ è una base del nucleo, pertanto
$-b_1{v}_1-\cdots -b_k{v}_k+a_{k+1}{v}_{k+1}+\cdots +a_n{v}_n=0$
e questa è una combinazione lineare nulla di $\{v_1,\dots ,v_n\}$, la quale è una base di $V$ e pertanto l’unica possibilità è che sia
$-b_1=0,\dots ,-b_k=0,a_{k+1}=0,\dots ,a_n=0$
quindi i particolare $a_{k+1}=0,\dots ,a_n=0$, e dunque $f(v_{k+1}),\dots ,f(v_n)$ sono linearmente indipendenti.

Dimostriamo che $\{f(v_{k+1}),\dots ,f(v_n)\}$ sono un sistema di generatori per $imf$; dall’osservazione precedente sappiamo che $\{f(v_1),\dots ,f(v_n)\}$ è un sistema di generatori per $imf$ dato che $\{v_1,\dots ,v_n\}$ è una base di $V$,
d’altro canto, dato che $v_1,\dots ,v_k\in kerf$:
$\{f(v_1),\dots ,f(v_k),f(v_{k+1}),\dots ,f(v_n)\}$
pertanto $span(f(v_1),\dots ,f(v_n))=span(f(v_{k+1}),\dots ,f(v_n))$, pertanto
$imf=span(f(v_{k+1}),\dots ,f(v_n))$.

Corollario
Sia $A\in M_{m,n}(K)$, allora la dimensione del sottospazio vettoriale $W\subseteq K^n$ delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $AX=0$ è uguale a $n-rgA$ (questo colma il vuoto lasciato nella dimostrazione del teorema di struttura per sistemi lineari arbitrari).

Dimostrazione
Abbiamo visto che $W=ker{L}_A$; per il teorema di dimensione, ricordando che $L_A:K^n\to K^m$, abbiamo $dim{K}^n=dimker{L}_A+dimim{L}_A$
$\Rightarrow n=dimW+rg{L}_A$
$=dimW+rgA$
$\Rightarrow dimW=n-rgA$

Osservazione
Sia $A\in M_{m,n}(K)$, consideriamo $L_A:K^n\to K^m$; dato che $b\in K^m$, interpretiamo che cosa significhi dire che $b\in im{L}_A$; vale che
$b\in im{L}_A⟺$ esiste $s\in K^n$ tale che $L_A(s)=b$
$⟺$ esiste $s\in K^n$ tale che $A\cdot s=b$
$⟺$ il sistema lineare $AX=b$ è compatibile.

Corollario
Sia $f:V\to V^{\prime }$ applicazione lineare tra spazi di dimensione finita e supponiamo $dimV=dimV?$; allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. $f$ è iniettiva
2. $f$ è suriettiva

Dimostrazione
$1.\Rightarrow 2.$
Supponiamo $f$ iniettiva, allora $kerf=(0)$, allora dal teorema di dimensione
$dimV=dimkerf+dimimf$
quindi $dimimf=dimV=dim{V}^{\prime }$, pertanto $imf=V^{\prime }$ e dunque $f$ è suriettiva.

$2.\Rightarrow 1.$
Supponiamo $f$ suriettiva, allora $imf=V^{\prime }$, allora dal teorema di dimensione
$dimV=dimkerf+dimimf=dimkerf+dim{V}^{\prime }$
$\Rightarrow$ $dimkerf=0$
$\Rightarrow$ $kerf=(0)$
$\Rightarrow$ $f$ è iniettiva.

Corollario
Sia $f:V\to V^{\prime }$ applicazione lineare tra spazi di dimensione finita, e sia $dimV=dim{V}^{\prime }$, allora
$f$ iniettiva $⟺$ $f$ suriettiva $⟺$ $f$ è biettiva $⟺$ $f$ è invertibile

Risorse