teorema di Weierstrass

Teorema in Rn

Se $f:K\subseteq {\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$ è continua e $K$ è compatto, allora esistono $\underset{\underline{x}\in K}{\min }f(\underline{x})$ e $\underset{\underline{x}\in K}{\max }f(\underline{x})$.

Teorema in R

Sia $K\ne \varnothing$ insieme compatto (cioè chiuso e limitato)
sia $f:K\to \mathbb{R}$ una funzione continua,
allora $f$ ha massimo e minimo assoluti.

Dimostrazione

Provo che ha massimo (analogamente proverò che ha minimo)
considero $f(K)\subseteq \mathbb{R}$

allora ho due possibilità:

• f(K) è superiormente illimitato
• $sup(K)<+\infty$

in entrambi i casi esiste dentro $f(K)$ una successione $(y_n{)}_n$
(quindi $y_n=f(x_n),$ esiste $(x_n{)}_n$)

tale che $\underset{n}{\lim }{y}_n=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }f(K)\text{ superiormente illimitato}\\ sup(f(K))& \text{se }f(K)\text{ superiormente limitato}\end{array}$

considero la successione $(x_n{)}_n$ in $K$

posso estrarre $(x_{n_k}{)}_k$ sottosuccessione
tale che $\underset{k}{\lim }{x}_{n_k}=\overline{x}\in K$

$f$ è continua
allora $\underset{k}{\lim }f(x_{n_k})=f(\overline{x})$

ma $f(x_{n_k})=y_{n_k}$

$\underset{n}{\lim }{y}_n=\{\begin{array}{l}+\infty \\ sup(f(K))\end{array}\Rightarrow \underset{k}{\lim }{y}_{n_k}=\{\begin{array}{l}+\infty \\ sup(f(K))\end{array}$

È possibile che $\underset{n}{\lim }{y}_n=+\infty$?

No, perché $f(\overline{x})\in \mathbb{R}$,

quindi $sup(f(K))=f(\overline{x})\Rightarrow \overline{x}$ è punto di massimo e $f(\overline{x})$ è il massimo.

Alternativamente

Sia $K$ chiuso e limitato
allora $K$ compatto
allora $f(K)$ compatto
allora $f(K)$ chiuso e limitato
$f(K)$ limitato, allora
$\exists inf(f(K))$ e $\exists sup(f(K))$ in $\mathbb{R}$
ma $f(K)$ è chiuso, allora
$sup(f(K))=max(f(K))$ e $inf(f(K))=min(f(K))$

Risorse