insieme dei numeri complessi in breve

Definizione

Considero ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ (piano cartesiano o vettori)

${\mathbb{R}}^2=\{(a,b):a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{R}\}$

Operazione di addizione su ${\mathbb{R}}^2$
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Proprietà:

• associativa
• $\exists$ neutro $(0,0)$
• $\exists$ opposto $-(a,b)=(-a,-b)$
• commutativa

$({\mathbb{R}}^2,+)$ è un gruppo abeliano

Operazione di moltiplicazione su ${\mathbb{R}}^2$
$(a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)$

Proprietà:

• associativa
• $\exists$ neutro $(1,0)$
• $\exists$ reciproco
• commutativa

Esiste anche la proprietà distributiva

$({\mathbb{R}}^2,+,\cdot )$ è un campo

lo chiamo campo dei numeri complessi $\mathbb{C}$.

Osservazione
Dentro a $\mathbb{C}=\{(a,b)\in \mathbb{R}\text{con}+,\cdot \}$

Considero i numeri $(a,0)$

$(a,0)+(b,0)=(a+b,0)$
$(a,0)\cdot (b,0)=(a\cdot b,0)$
$(a,0)\cdot (c,d)=(a\cdot c,a\cdot d)$

Come i reali, $a$ è scalare.

Rappresentazione di complessi

Chiamo
$\text{1}=(1,0)$
$i=(0,1)$

$\text{1}+i=(1,1)$
$\text{1}\cdot \text{1}=(1,0)=1$
$i\cdot i=(-1,0)=-1$

$x^2=-1\to x=(0,1)=i$

$(a,b)=(a,1)\cdot (1,0)+(b,0)\cdot (1,0)=a(1,0)+b(0,1)=a+ib$

$a$ si dice parte reale
$b$ si dice parte complessa (o immaginaria)

Piano di Gauss

Il piano di Gauss è un piano cartesiano $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, dove rappresento sulle ascisse le parti reali e sulle ordinate le parti immaginarie.

Per esempio: $z=a+bi$ ha coordinata reale $a$ e immaginaria $b$.

$a=Re(z)$
$b=Im(z)$

$z=Re(z)+i\cdot Im(z)$
$Re(z),Im(z)\in \mathbb{R}$

Complesso coniugato

Definizione
Sia $z=a+ib$, chiamo complesso coniugato di $z$,
il numero complesso $a-ib$.

Chiamo coniugo la funzione

$\overline{\square }:\mathbb{C}⟶\mathbb{C}$
$z⟼\overline{z}$

$z_1,z_2\in \mathbb{C}$
$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$

Modulo di z

Definizione
Sia $z=a+ib$, chiamo modulo di $z$,
il numero reale $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

(è la distanza dall’origine)

$|\square |:\mathbb{C}⟶[0,+\infty [$
$z⟼|z|$

Osservazione
Se $z\in \mathbb{R}$

$|z|=\sqrt{z^2}$

Il modulo di $z$ è uguale al valore assoluto di $z$ come numero reale.

Proprietà

$|z|\ge 0$
$|z|=0\iff z=0$
$|z|\ge |Re(z)|,|z|\ge |Im(z)|$
$|\overline{z}|=|z|$
$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$
$z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$
$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

Diseguaglianza triangolare
$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

disuguaglianza triangolare

Forma trigonometrica

$|z|$ modulo
$\alpha$ argomento

$a=|z|\cos \alpha$
$b=|z|\sin \alpha$

$z=a+ib=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$

$[\alpha ]=\{\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

$1\sim [1,0]$
$i\sim [1,\frac{\pi }{2}]$

Moltiplicazione

$z_1\sim [{\rho }_1,{\alpha }_1]$
$z_1={\rho }_1(\cos {\alpha }_1+i\sin {\alpha }_1)$

$\mathbb{C}\setminus \{0\}⟶]0,+\infty [\times \{[\alpha {]}_{{\equiv }_{2\pi }},\alpha \in \mathbb{R}\}$
$z⟼(\rho ,[\alpha ])$

$z_1\cdot z_2={\rho }_1\cdot {\rho }_2(\cos ({\alpha }_1+{\alpha }_2)+i\sin ({\alpha }_1+{\alpha }_2))$

Formula di De Moivre

Sia $z=a+ib\sim (\rho ,[\alpha ])$

quindi $z=\rho (\cos \alpha +i\sin \alpha )$

allora $z^n={\rho }^n(\cos (n\alpha )+i\sin (n\alpha ))$

Radici

Trovare i numeri $z\in \mathbb{C}$ che soddisfano $z^n=1$

In $\mathbb{R}$:
$x^n=1$

se sono in $[0,+\infty [$ considero la potenza $p_n$ n-esima,
ha un’unica soluzione in $[0,+\infty [$, che è $x=1$

se sono sui negativi,
per $n$ pari, soluzione $x=-1$
per $n$ dispari, soluzione $x=1$

quindi su $\mathbb{R}$:

• soluzioni $x=1$ e $x=-1$ se $n$ pari
• soluzione $x=1$ se $n$ dispari

In $\mathbb{C}$:
$z^n=1$

$z\sim (\rho ,[\alpha ])$
$z^n\sim ({\rho }^n,[n\alpha ])$
$1\sim (1,[0])$

$({\rho }^n,[n\alpha ])=(1,[0])$

deve essere ${\rho }^n=1$ con $\rho \in ]0,+\infty [$,
ha una sola soluzione $\rho =1$

deve essere $[n\alpha ]=0$
$n\alpha =0+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\alpha =\frac{2k\pi }{n}$

per $k=0$ ottengo ${\alpha }_1=0$
per $k=1$ ottengo ${\alpha }_2=\frac{2\pi }{n}$
per $k=2$ ottengo ${\alpha }_3=\frac{4\pi }{n}$
$⋮$
per $k=n-1$ ottengo ${\alpha }_n=\frac{2(n-1)\pi }{n}$
per $k=n$ ottengo ${\alpha }_{n+1}=2\pi =0$
per $k=n+1$ ottengo ${\alpha }_{n+2}=2\pi +\frac{2\pi }{n}=\frac{2\pi }{n}$

quindi sono $n$ punti distinti.

Le radici dell’unità sono:

• $z_0=1(\cos 0+i\sin 0)=1$
• $z_1=1(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})=\dots$
• $⋮$
• $z_n=1(\cos \frac{2(n+1)\pi }{n}+i\sin \frac{2(n+1)\pi }{n})=\dots$

Esempio
$z^5=1$

$z_1=1$
$z_2=1(\cos (\frac{2\pi }{5})+i\sin (\frac{2\pi }{5}))$
$z_3=1(\cos (\frac{4\pi }{5})+i\sin (\frac{4\pi }{5}))$
$z_4=1(\cos (\frac{6\pi }{5})+i\sin (\frac{6\pi }{5}))$
$z_5=1(\cos (\frac{8\pi }{5})+i\sin (\frac{8\pi }{5}))$

Risorse