laterali destri e sinistri

Definizione

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo. Per ogni $a\in G$; il corrispondente insieme $aH\equiv \{a\cdot h|h\in H\}$ si dice laterale sinistro di $H$. L’elemento $a=a\cdot 1_G\in aH$ si dice rappresentante canonico della classe $aH$. Analogamente si definiscono i laterali destri come $Ha\equiv \{h\cdot a|h\in H\}$.

Osservazione

1. Necessitiamo di due notazioni diverse in quanto $\cdot$ potrebbe non essere commutativa. Nel caso che lo sia, ovvero $aH=Ha$, diremo che $H$ è un sottogruppo normale. Quindi se $\forall g\in G,\exists g_1:Hg=g_{1}H$, oppure $H=g^{-1}Hg$, o $gH=H{g}_1$, o $g^{-1}hg\in H,\forall hinH,g\in H$
2. Se $G$ è un gruppo abeliano ogni suo sottogruppo è normale.
3. I laterali, in genere, non sono sottogruppi in quanto non contengono l’elemento neutro di $G$.
4. $aH=bH$ se e solo se $a^{-1}\cdot b\in H$.
5. Se $H$ s.g. normale di $G$, presi $H{g}_1$ e $H{g}_2$ laterali destri, possiamo definire il laterale $H(g_1\cdot g_2)$. Può succedere che $H{g}_1=H{g}_1^1$ con $g_1^1\in G$, analogamente con $g_2$, ma un sottogruppo normale mi garantisce che $H(g_1\cdot g_2)$ non dipende dalla scelta dei rappresentanti $g_1$ e $g_2$, quindi $H(g_1\cdot g_2)=H(g_1^1\cdot g_2^1)$. In questo modo si può definire una composizione tra i laterali destri di $G$, data da $H{g}_1\cdot H{g}_2=H(g_1\cdot g_2)$. Si ottiene un nuovo gruppo che si indica con $G/H$, detto gruppo quoziente di $G$ rispetto ad $H$.

Inoltre, si ottiene partizione di $G$ e quindi relazione di equivalenza su $G$ data da:
$a,b\in G$ sono equivalenti rispetto a questa partizione $\iff$ $a,b\in$ stesso laterale $\iff$ $\exists g\in G:a\in H_g,b\in H_g$
cioè (4)
$\exists h_1,h_2\in H:a=h_{1}g,b=h_{2}g\iff g=a{h}_1^{-1}=b{h}_2^{-1}\iff a{h}_1^{-1}=b{h}_2^{-1}\iff a=b{h}_2^{-1}{h}_1\iff a{b}^{-1}=h_2^{-1}{h}_1\in H$

Risorse