gruppo, gruppo abeliano e sottogruppo

Notazione additiva

Indichiamo con $(G,+)$ un gruppo, con $0$ il suo elemento neutro e con $-a$ l’inverso dell’elemento $a$.
L’elemento $a+a+\cdots +a$ ottenuto applicando l’operazione $+$ ad $a$, $n$ volte verrà denotato come $n\cdot a$ o più semplicemente $na$.

Per convenzione si pone inoltre: $0\cdot x=0x=0$.

La notazione additiva viene spesso utilizzata se il gruppo trattato risulta essere abeliano.

Notazione moltiplicativa

Indichiamo con $(G,\cdot )$ un gruppo, con $1$ il suo elemento neutro e con $a^{-1}$ l’inverso di $a$.
L’elemento $a\cdot a\cdot \dots \cdot a$ ottenuto applicando l’operazione $\cdot$ ad $a$ $n$ volte verrà denotato come $a^n$.

Per convenzione si pone inoltre: $a^0=1$.

Si può scrivere $ab$ intendendo $a\cdot b$.

Definizione gruppo

Sia $G$ un insieme non vuoto;
$\cdot :G\times G\to G$ un’operazione associativa, con elemento neutro, e che ammette inversi in $G$.

La struttura $(G,\cdot )$ si dice gruppo.
Se inoltre $\cdot$ risulta commutativa il gruppo si dice abeliano.

Definizione sottogruppo

Un sottoinsieme $H\subset G$ si dice sottogruppo di $G$ se è esso stesso un gruppo con $\cdot$.

Osservazione

Se $G$ è un gruppo allora $H\subset G$ è un suo sottogruppo se e solo se:

• $H\ne \varnothing$
• per ogni $a,b\in H$ vale $a\cdot b^{-1}\in H$.

Inoltre, dato $G$ e $H$, $H$ definisce due partizioni di $G$:

• l’insieme dei laterali destri di $H$
• l’insieme dei laterali sinistri di $H$

laterali destri e sinistri

Definizione (Logar)

$G$ gruppo $(G,\ast )$ se

1. associatività $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c$
2. $\exists 1$ elemento neutro, cioè $a\ast 1=1\ast a=a$
3. ogni $a\in G$ ha inverso, cioè $\exists b\in G:a\ast b=b\ast a=1$

Esempi vari

Sono gruppi:
$(Z,+)(Q,+)(R,+)(C,+)(Q\setminus \{0\},\cdot )(R\setminus \{0\},\cdot )(C\setminus \{0\},\cdot )$

Sia $X$ insieme, $G=\{f:X\to X|f\text{ eˋ biettiva}\}$
$G$ con la composizione tra applicazioni è un gruppo.

Se $X=\{2,\dots ,n\}$ è finito con $n$ elementi, $G$ si indica con $S_n$ e si dice gruppo delle permutazioni.

Elementi di $S_3$ sono:

$$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\\ & & \\ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$$

Se faccio la composizione tra le applicazioni ottengo:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$$

Con la composta non esco da $G$.

Risorse