relazione di equivalenza compatibile e gruppo quoziente

Definizione

Sia $(G,\ast )$ un gruppo e $\sim$ una relazione di equivalenza compatibile su $G$. Si dice gruppo quoziente il gruppo $(G/\sim ,\ast \sim )$ dove l’operazione $\ast \sim$ viene definita da $[a]\ast \sim [b]=[a\ast b]$.

Osservazione

Se $G$ è un gruppo e $H$ è un suo sottogruppo normale allora si scrive $G/H$ intendendo $G/{\sim }_H$. L’elemento neutro del gruppo $G/H$ è $[h{]}_H$; $h\in H$. $G/H$ può anche essere visto come il gruppo i cui elementi sono i laterali di $H$ in $G$ e con elemento neutro $H$.

Dli elementi di $G/H$ sono i laterali $(Hg\circ gH)$ si indicano anche con $[g{]}_H$.

Se $(G,+)$ allora i laterali si indicano con $H+g$ e $g+H$.

Esempio

Considero $G=\mathbb{Z}$ con operazione $+$, sia $H=\{4t|t\in \mathbb{Z}\}=(4)$ sottogruppo normale (anche perché in un gruppo abeliano tutti i sottogruppi sono normali) di $G$.
Chi è $G/H$? Chi è intanto $H+1$, cioè $[1{]}_H$?
Nel quoziente abbiamo:

$[1{]}_H=\{\dots ,-3,1,5,9,\dots \}$
$[2{]}_H=\{\dots ,-2,2,6,10,\dots \}$
$[3{]}_H=\{\dots ,-1,3,7,11,\dots \}$
$[0{]}_H=\{\dots ,-4,0,4,8,\dots \}=H$

Quindi $G/H=\{[0{]}_H,[1{]}_H,[2{]}_H,[3{]}_H\}$, che ha 4 elementi (ho partizionato $\mathbb{Z}$).

Se voglio calcolare $[3{]}_H+[2{]}_H$?
Per definizione di operazione nel quoziente, scelgo un rappresentante (indifferente) di $[3{]}_H$ e uno di $[2{]}_H$, per esempio 3 e 2, e faccio l’operazione in $G$:
$3+2=5$.
Ora devo vedere a quale classe appartiene 5, e vedo che $5\in [1{]}_H$, quindi
$[3{]}_H+[2{]}_H=[1{]}_H$.

Si ottiene così ${\mathbb{Z}}_4$ (isomorfo a ${\mathbb{Z}}_4$) i cui elementi sono $[0],[1],[2],[3]$.

Osservazione

$(\mathbb{Z},+)$ è un gruppo abeliano e i suoi sottogruppi sono tutti e soli gli insieme della forma $m\mathbb{Z}=\{ma|a\in \mathbb{Z}\}$ con $m\in \mathbb{Z}$ fissato.

Risorse