secondo teorema di Bolzano-Weierstrass in R

Teorema

Sia $(a_n{)}_n$ una successione in $\mathbb{R}$, [limitata](successione limitata in R).
Allora esiste una sottosuccessione [convergente](successione convergente e successione divergente in R).

Dimostrazione

Chiamo $E=\{a_n,n\in \mathbb{N}\}$ (sono le immagini di $(a_n{)}_n$).

Ci sono due possibilità:

$E$ è finito
Allora in $E$ c’è un elemento che è immagine di infiniti indici $n$,
quindi posso scegliere come sottosuccessione una sottosuccessione costante (e quindi convergente).
(esempio: $a_n=(-1{)}^n$, sottosuccessione $(a_{2n}{)}_n=1$)

$E$ è infinito
Ma la successione per ipotesi è limitata, allora $E$ è un insieme limitato ed infinito.
Allora $E$ ha un punto $\xi$ di accumulazione in $\mathbb{R}$,
in ogni intorno di $\xi$ ci sono infiniti punti di $E$.
Costruiamo una sottosuccessione che converge a $\xi$.

Considero $]\xi -1,\xi +1[$
qui dentro ci sono infiniti $a_n$
scelgo $a_{n_0}\in ]\xi -1,\xi +1[$

Considero $]\xi -\frac{1}{2},\xi +\frac{1}{2}[$
qui dentro ci sono infiniti $a_n$
scelgo $a_{n_1}\in ]\xi -\frac{1}{2},\xi +\frac{1}{2}[$

ma anche $n_1>n_0$
lo posso fare perché sono infiniti

vado avanti così

ho $a_{n_k}\in ]\xi -\frac{1}{2^k},\xi +\frac{1}{2^k}[$

allora $0<|a_{n_k}-\xi |<\underset{0}{\underbrace{\frac{1}{2^k}}}$

allora $\underset{k}{\lim }{a}_{n_k}=\xi$

Risorse