teorema di Rouchè - Capelli

Teorema

Sia $A\in M_{m,n}(K)$ e sia $B\in K^n$, allora il sistema lineare $A\cdot X=b$ è compatibile (ovvero ammette almeno una soluzione) se e solo se $rg(A)=rg(A|B)$; in tal caso la generica soluzione del sistema dipende da $n-rg(A)$ parametri liberi.

sistema lineare
rango di una matrice
corollario di Rouchè - Capelli

Dimostrazione

Per mostrare la prima parte del teorema, notiamo che se $s\in K^n$, con $s=\left(\begin{array}{c}{s}_1\\ ⋮\\ s_n\end{array}\right)$, allora

$A\cdot s=b⟺s_1\cdot A^{(1)}+\cdots +s_n\cdot A^{(n)}=b$

(questa osservazione si ottiene scrivendo esplicitamente il prodotto righe per colonne di $A$ per $s$); dimostriamo la prima parte

"$\Rightarrow$"
Supponiamo che $A\cdot X=b$ sia compatibile; allora esiste $s\in K^n$ soluzione del sistema, dunque $A\cdot s=b$; per quanto osservato, questo equivale a dire che $s_1\cdot A^{(1)}+\cdots +s_n\cdot A^{(n)}=b$, il che significa che $b$ è combinazione lineare di $A^{(1)},\dots ,A^{(n)}$, ovvero delle colonne di $A$, pertanto $b\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})$, questo implica che

$span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})=span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b)$

infatti

"$\subseteq$"
se $u\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})$, allora $u={\lambda }_1\cdot A^{(1)}+\cdot +{\lambda }_n\cdot A^{(n)}$, pertanto $u={\lambda }_1{A}^{(1)}+\cdots +{\lambda }_n{A}^{(n)}+0\cdot b$, ovvero $u\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b)$

"$\supseteq$"
se $u\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b)$, allora $u={\lambda }_1{A}^{(1)}+\cdots +{\lambda }_n{A}^{(n)}+\lambda \cdot b$, ma $b=s_1\cdot A^{(1)}+\cdots +s_n\cdot A^{(n)}$, quindi $u={\lambda }_1{A}^{(1)}+\cdots +{\lambda }_n{A}^{(n)}+\lambda \cdot (s_1\cdot A^{(1)}+\cdots +s_n\cdot A^{(n)})=({\lambda }_1+\lambda \cdot s_1)A^{(1)}+\cdots +({\lambda }_n+\lambda \cdot s_n)A^{(n)}$, pertanto $u\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})$

allora

$dim(span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)}))=dim(span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b))$
$rg(A)=rg(A|b)$

"$\Leftarrow$"
Supponiamo che valga $rg(A)=rg(A|B)$; allora per definizione

$dim(span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)}))=dim(span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b))$

dato che vale sempre che lo $span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})\subseteq span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b)$, il fatto che le dimensioni di questi due sottospazi sono uguali implica che gli sottospazi stessi siano uguali; dunque

$span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})=span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b)$

pertanto, dato che $b\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)},b)$, segue che $b\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})$, ma abbiamo osservato che quest’ultima condizione è equivalente al fatto che esista una soluzione $s\in K^n$ del sistema $A\cdot X=b$, ovvero che quest’ultimo sia compatibile.

Abbiamo quindi mostrato la prima parte del teorema; ora mostriamo la seconda parte, ovvero che, quando il sistema $A\cdot X=b$ è compatibile, la sua generica soluzione dipende da $n-rg(A)$ parametri liberi; per farlo, usiamo il teorema di struttura per sistemi lineari e il teorema di dimensione per le soluzioni di un sistema lineare omogeneo, il primo ci dice che la generica soluzione $s$ del sistema $A\cdot X=b$ o della forma $s=\tilde{s}+s_o$ dove $\tilde{s}$ è una soluzione fissata di $A\cdot X=b$ ed $s_0$ è una soluzione del sistema omogeneo associato $AX=0$; il teorema di dimensione ci dice che il sottospazio vettoriale $W$ delle soluzioni $AX=0$ ha dimensione $n-rg(A)$; sia $k=n-rg(A)$; allora esiste una base $B$ di $W$ formata da $k$ elementi, $B=\{w_1,\dots ,w_k\}$ e ogni elemento di $W$ è combinazione lineare in maniera unica di $B$; pertanto $s_0$ è della forma $s_0=t_1\cdot w_1+\cdots +t_k\cdot w_k$ per certe $t_1,\dots ,t_k\in K$; in definitiva, la generica soluzione $s$ di $AX=b$ è della forma $s=\tilde{s}+t_1\cdot w_1+\cdots +t_k\cdot w_k$ dove $t_1,\dots ,t_k\in K$.

$\square$

Esempio
Consideriamo il sistema lineare

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+3x_3-x_4=1\\ x_2-x_4=2\end{array}$$

usiamo il teorema di Rouchè - Capelli per dimostrare che il sistema sia compatibile

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -1\\ 0& 1& 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$$ $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 3& -1& 1\\ 0& 1& 0& -1& 2\end{array}\right)$$

$rg(A)=2$ perché $A$ a scala e ho $2$ righe non nulle $rg(A|b)=2$ perché $(A|b)$ è a scala e ha $2$ righe non nulle, dunque $rg(A)=rg(A|b)$, pertanto il sistema è compatibile e la generica soluzione dipende da $4-2=2$ parametri liberi per determinare tutte le soluzioni, cominceremo col calcolare una soluzione particolare:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+3x_3-x_4=1\\ x_2-x_4=2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_2-3c_3+x_4+1\\ x_2=x_4+2\end{array}$$ $$⟺\{\begin{array}{l}{x}_1=2(x_4+2)-3x_3+x_4+1\\ x_2=x_4+2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}_1=-3x_3+3x_4+5\\ x_2=x_4+2\end{array}$$

per determinare una soluzione particolare, assegno dei valori a $x_3$ e $x_4$ ottenendo $\tilde{s}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$; a questo punto determiniamo una base delle soluzioni del sistema $AX=0$, ovvero

$$\{\begin{array}{l}{x}_2-2x_2+3x_3-x_4=0\\ x_2-x_4=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}_1=3x_4-3x_3\\ x_2=x_4\end{array}$$

le soluzioni sono della forma

$$\left(\begin{array}{c}-3x_3+3x_4\\ x_4\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=x_3\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

verificare che questi due vettori formano una base delle soluzioni di $AX=0$.

Risorse