sistema lineare

Definizione

Sia $K$ un campo; un sistema di $m$ equazioni in $n$ incognite a coefficienti in $K$ è un sistema di equazioni della forma seguente

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1$
$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2$
$⋮$
$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m$

dove ogni $a_{ij}$ è un elemento di $K$ per ogni $i\in \{1,\dots ,m\}$, $j\in \{1,\dots ,n\}$ e ogni $b$ è un elemento di $K$ per ogni $i\in \{1,\dots ,m\}$; $x_1,\dots ,x_n$ sono dette incognite, mentre gli elementi $b_1,\dots ,b_m$ sono detti i termini noti e gli elementi $a_{ij}$ sono detti i coefficienti del sistema; una soluzione del sistema è una $n$-upla ordinata (che rappresentiamo come vettore colonna) $s\in K^n$, ovvero $s=\left(\begin{array}{c}{s}_1\\ ⋮\\ s_n\end{array}\right)$ con $s_i\in K$ tale per cui se per ogni $i\in \{1,\dots ,n\}$ sostituiamo $x_i$ con $s_i$, allora tutte le uguaglianze del sistema saranno vere; il sistema si dice omogeneo se $b_1=\cdots =b_m=0$, ovvero tutti i termini noti sono nulli; un sistema si dice non omogeneo se non è omogeneo; un sistema di dice compatibile se ammette almeno una soluzione; altrimenti si dice incompatibile.

Osservazione
La $n$-upla nulla $(0,\dots ,0{)}^T$ è sempre soluzione di un sistema omogeneo; pertanto ogni sistema omogeneo è compatibile.

Definizione
Dato un sistema lineare come nella definizione precedente, denotiamo

$A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$

$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

$b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)\in M_{m,1}(K)$

allora il sistema precedente può essere scritto nella forma

$\underset{m\times n}{\underbrace{A}}\cdot \underset{n\times 1}{\underbrace{X}}=\underset{m\times 1}{\underbrace{b}}$

sistemi lineari equivalenti
teoremi: algebra lineare

Risorse