corollario di Rouchè - Capelli

Teorema

Sia $A\in M_n(K)$, allora $rg(A)=n$ (ovvero il rango di $A$ è il massimo possibile) se e solo se per ogni $b\in K^n$, il sistema lineare $A\cdot X=b$ è compatibile.

proposizione rango massimo se e solo se invertibile e algoritmo per invertire una matrice quadrata

Dimostrazione

Abbiamo visto nella dimostrazione di Rouchè - Capelli che
$A\cdot X=b$ è compatibile se e solo se $b\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})$, nella nostra dimostrazione abbiamo che $span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})\subseteq K^n$, e vale che $di{m}_k{K}^n=n$; pertanto

$$rg(A)=n⟺dimspan(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})=n⟺span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})=K^n⟺\forall b\in K^n,b\in span(A^{(1)},\dots ,A^{(n)})⟺\forall b\in K^n,AX=b$$

è compatibile.

Risorse