dimensione di uno spazio vettoriale

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ finitamente generato

• se $V=\{0\}$, definiamo la dimensione di $V$ come $0$
• se $V\ne \{0\}$ definiamo la dimensione di $V$ come il numero di elementi di una sua qualsiasi base

indichiamo la dimensione di $V$ con $di{m}_{k}V$ (o anche $dimV$).

Esempi
$dim{R}^2=2$ (infatti $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right\}$ è base di $R^2$)
$di{m}_k{K}^2=2$
$di{m}_k{K}^n=n$
$di{m}_k{M}_{m,n}(K)=m\cdot n$ (una base è data dalle matrici con una sola entrata uguale a $1$ e tutte le altre uguali a $0$)

Osservazione
Il concetto di dimensione si applica anche ai sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale.

Proprietà
Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato; sia $W\subseteq V$ un sottospazio vettoriale allora:

1. $dimW\le dimV$
2. $dimW=dimV⟺W=V$

rango di una matrice

Risorse