equazioni cartesiane
Definizione
In generale, le equazioni cartesiane sono un modo per descrivere un insieme geometrico (come una curva o una superficie) in uno spazio euclideo specificando le relazioni tra le sue coordinate. In pratica, si tratta di equazioni che devono essere soddisfatte dalle coordinate dei punti che appartengono all’insieme geometrico in questione.
Più precisamente:
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Nel piano (ℝ²): L’equazione cartesiana di una curva è un’equazione nella forma f(x, y) = 0, dove x e y sono le coordinate cartesiane e f è una funzione. Ad esempio, x² + y² - r² = 0 rappresenta una circonferenza di raggio r centrata nell’origine. Una retta può essere rappresentata da ax + by + c = 0.
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Nello spazio (ℝ³): L’equazione cartesiana di una superficie è data da f(x, y, z) = 0. Un piano può essere rappresentato da ax + by + cz + d = 0. Una retta nello spazio richiede due equazioni cartesiane, tipicamente ottenute dall’intersezione di due piani.
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In generale (ℝⁿ): Un insieme geometrico in ℝⁿ può essere descritto da un sistema di equazioni cartesiane, dove ogni equazione è nella forma fi(x₁, x₂, …, xn) = 0.
Le equazioni cartesiane sono particolarmente utili per verificare se un punto appartiene a un insieme geometrico: basta sostituire le coordinate del punto nelle equazioni e controllare se sono soddisfatte.
geometria affine
Nel contesto specifico dei sottospazi affini, le equazioni cartesiane definiscono il sottospazio affine come l’insieme delle soluzioni del sistema lineare. Qui, la matrice e il vettore codificano le relazioni tra le coordinate dei punti che appartengono al sottospazio. Il sistema omogeneo associato, , definisce la giacitura del sottospazio affine.