anello

Definizione (Logar)

Siano: $A$ un insieme non vuoto,
$+:A\times A\to A$ un’operazione associativa, commutativa, con elemento neutro $0$ e che ammette inversi in $A$,
$\cdot :A\times A\to A$ un’operazione associativa.

Se inoltre le due operazioni sono legate dalle proprietà distributive:

1. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
2. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

la struttura $(A,+,\cdot )$ si dice anello.

Se esiste $1$ elemento neutro di $\cdot$ l’anello si dice unitario.
Se $\cdot$ risulta commutativo l’anello si dice commutativo.

D’ora in avanti si tratterà solamente di anelli unitari e commutativi.

anello commutativo
anello unitario

Osservazione

Risulta equivalente dire che:

1. $(A,+)$ è un gruppo abeliano
2. $(A\setminus \{0\},\cdot )$ è un semigruppo associativo.

Esempio

$(\mathbb{Z},+,\cdot )$

Definizione

Un anello è una struttura algebrica $(R,+,\cdot )$ dove $R$ è un insieme non vuoto e $+,\cdot$ sono due operazioni binarie su $R$ (chiamate rispettivamente addizione e moltiplicazione) che soddisfano i seguenti assiomi:

• $(R,+)$ è un [gruppo abeliano](gruppo e gruppo abeliano).
• Associatività della moltiplicazione: $\forall a,b,c\in R,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• Proprietà distributive: $\forall a,b,c\in R$:
  • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (distributività sinistra)
  • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ (distributività destra)

Se la moltiplicazione è commutativa, l’anello si dice commutativo.
Se esiste un elemento neutro per la moltiplicazione (indicato con 1), l’anello si dice anello con unità.

Esempio

$(\mathbb{Z},+,\cdot )$ è un anello commutativo unitario.

$\mathbb{P}=\{2k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ insieme dei numeri pari è un anello commutativo non unitario.

$M_{n\times n}(\mathbb{R})$ insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ a coefficienti reali è un anello non commutativo ma unitario.

Risorse