omomorfismo di gruppi

Definizione (Logar)

Siano $G_1$ e $G_2$ due gruppi. Un’applicazione lineare $f:G_1\to G_2$ si dice omomorfismo di gruppi se vale:

1. $f(1_{G_1})=1_{G_2}$
2. $f(g_1{g}_2)=f(g_1)f(g_2)$
3. $f(g^{-1})=f(g{)}^{-1}$

Definizione

Siano $(A,\cdot )$ e $(B,\odot )$ due gruppi. Denotiamo con $1$ l’elemento neutro di $\cdot$ in $A$ e con $⨁$ il neutro di $\odot$ in $B$. Una funzione $f:A\to B$ si dice omomorfismo tra i gruppi $A$ e $B$ se:

i) $f(1)=⨁$
ii) $f(\alpha \cdot \beta )=f(\alpha )\odot f(\beta );\forall \alpha ,\beta \in A$
iii) $f({\alpha }^{-1})=f(\alpha {)}^{⨁}$

Qui ${\alpha }^{-1}$ è l’inverso di $\alpha$ rispetto all’operazione $\cdot$ ed appartiene ad $A$, mentre $f(\alpha {)}^{⨁}$ è l’inverso di $f(\alpha )$ rispetto all’operazione $\odot$ e sta in $B$.

Se $f$ è un omomorfismo:

• suriettivo, $f$ si dice anche epimorfismo
• iniettivo, $f$ si dice anche monomorfismo
• biettivo, $f$ si dice anche isomorfismo

nucleo di un omomorfismo di gruppi
omomorfismo proiezione canonica di gruppi
teorema di omomorfismo di gruppi

Risorse