vettori linearmente dipendenti

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale e siano $v_1,\dots ,v_n\in V$; gli elementi $v_1,\dots ,v_n$ si dicono linearmente dipendenti se possiamo scrivere $0\in V$ come una combinazione lineare di $v_1,\dots ,v_n$ in cui non tutti i coefficienti in $K$ sono nulli, ovvero se vale che $0={\lambda }_1\cdot v_1+\cdots +{\lambda }_n\cdot v_n$, con ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ non tutti nulli.

Proposizione
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e siano $v_1,\dots ,v_n\in V$; allora $v_1,\dots ,v_n$ si sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri. Equivalentemente, se e solo se esiste $j\in \{1,\dots ,n\}$ tale che $v_j\in span(v_1,\dots ,v_{j-1},v_{j+1},\dots ,v_n)$, indicato anche come $span(v_1,\dots ,{\hat{v}}_j,\dots ,v_n)$.

Dimostrazione
"$\Rightarrow$"
Supponiamo che $v_1,\dots ,v_n$ siano linearmente dipendenti; allora ${\lambda }_1\cdot v_1+\cdots +{\lambda }_n\cdot v_n=0$ con ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ non tutti nulli; allora esiste $j\in \{1,\dots ,n\}$ tale che ${\lambda }_j\ne 0$, allora vale che
$-{\lambda }_j\cdot v_j={\lambda }_1\cdot v_1+\cdots +{\lambda }_{j-1}\cdot v_{j-1}+{\lambda }_{j+1}\cdot v_{j+1}+\cdots +{\lambda }_n\cdot v_n$
e quindi
$v_j=(-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_j})\cdot v_1+\cdots +(-\frac{{\lambda }_{j-1}}{{\lambda }_j})\cdot v_{j-1}+\cdots +(-\frac{{\lambda }_{j+1}}{{\lambda }_j})\cdot v_{j+1}+\cdots +(-\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_j})\cdot v_n$
ovvero $v_j\in span(v_1,\dots ,{\hat{v}}_j,\dots ,v_n)$

"$\Leftarrow$"
Supponiamo che esista un $j\in \{1,\dots ,n\}$ tale che $v_j\in span(v_1,\dots ,{\hat{v}}_j,\dots ,v_n)$; allora
$v_j={\mu }_1\cdot v_1+\cdots +{\mu }_{j-1}\cdot v_{j-1}+{\mu }_{j+1}\cdot v_{j+1}+\cdots +{\mu }_n\cdot v_n$
allora
${\mu }_1\cdot v_1+\cdots +{\mu }_{j-1}\cdot v_{j-1}+v_j+{\mu }_{j+1}\cdot v_{j+1}+\cdots +{\mu }_n\cdot v_n=0$
e il coefficiente di $v_j$ è $1$, dunque è diverso da zero, pertanto $v_1,\dots ,v_n$ sono linearmente dipendenti.

vettori linearmente indipendenti
base di uno sottospazio vettoriale

Risorse