spazi Euclidei e metrica Euclidea

Definizione in Rn

Su ${\mathbb{R}}^n$ consideriamo la metrica Euclidea

$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert ={\left(\sum _{j=1}^n(x_j-y_j{)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$$

per ogni $x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$.

Ricordiamo che la disuguaglianza triangolare consegue dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwartz per il prodotto scalare canonico di ${\mathbb{R}}^n$.

Definizione in Cn

Su ${\mathbb{C}}^n$ consideriamo la metrica Euclidea complessa

$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert ={\left(\sum _{j=1}^n|x_j-y_j{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$$

per ogni $x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{C}}^n$.

Osservazione

${\mathbb{R}}^n\cong {\mathbb{C}}^{2n}$

Risorse